Disequazioni di secondo grado esercizi

Le disequazioni di secondo grado sono uno degli argomenti fondamentali del biennio in tutte le scuole superiori.

In questo articolo ti spieghiamo come operare per risolvere gli esercizi.

Se però hai una verifica o vuoi imparare il più in fretta possibile, puoi dare un’occhiata alla nostra selezione di video sulle disequazioni di secondo grado!
In meno di 2 ore imparerai risolvere anche esercizi complessi!

In questo articolo andremo a vedere:

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Definizione di Disequazione di Secondo Grado

Le disequazioni di secondo grado, note anche come disequazioni quadratiche, sono disuguaglianze che coinvolgono polinomi di grado due. In forma standard, si presentano come:

ax^2 + bx + c \, \diamond \, 0

dove

$a$ , $b$ e $c$ sono numeri reali, $a \neq 0$ , e $\diamond$ può essere uno dei seguenti simboli: $<$ , $\leq$ , $>$ , $\geq$ .

ad esempio:

$2x^2 – 3x + 1 > 0$
$-x^2 + 4x – 4 \leq 0$
$3x^2 + 6x + 2 \geq 0$

Se vuoi un approfondimento sulla teoria puoi consultare questo articolo: Disequazioni di secondo grado.

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Metodi di Risoluzione delle Disequazioni di Secondo Grado

La risoluzione degli esercizi sulle disequazioni di secondo grado, ha più metodi. Di seguito li vediamo.

Metodo Algebrico

Il metodo algebrico prevede la risoluzione delle disequazioni attraverso passaggi analitici, utilizzando l’equazione associata

ax^2 + bx + c = 0

1. Assicurarsi che il coefficiente direttore 𝑎 a sia positivo

Assicurarsi che il coefficiente direttore $a$ sia positivo. Se non lo fosse, moltiplicare tutta la disequazione per

-1

, ricordando di invertire il verso della disequazione.

2. Risoluzione dell'equazione associata

ax^2 + bx + c = 0

utilizzando la formula del discriminante

\Delta = b^2 – 4ac

Se $\Delta > 0$ , l’equazione ha due soluzioni reali e distinte $x_1$ e $x_2$ .
Se $\Delta = 0$ , l’equazione ha una soluzione reale doppia $x_1 = x_2$ .
Se $\Delta < 0$ , l’equazione non ha soluzioni reali.

Dunque a seconda dei casi, delta maggiore di zero, delta minore di zero e delta uguale a zero, avremo soluzioni differenti. Importante!! Le soluzioni sono sempre due!

3. Studio del segno

Lo studio del segno è una tecnica utilizzata in algebra per determinare gli intervalli in cui una funzione, come un polinomio, è positiva, negativa o nulla.

Consiste nell’analizzare le radici dell’equazione associata e valutare i segni della funzione nei vari intervalli determinati da queste radici.

Possiamo riassumere in questa tabella le casistiche:

$\Delta = b^2 – 4ac$ è il discriminante.
$x_1$ e $x_2$ sono le radici dell’equazione $ax^2 + bx + c = 0$ .

$\Delta > 0$ : due radici reali distinte $x_1$ e $x_2$ .
$\Delta = 0$ : una radice reale doppia $x_1 = x_2$ .
$\Delta < 0$ : nessuna radice reale (radici complesse).

Disequazione	$\Delta > 0$	$\Delta = 0$	$\Delta < 0$
$ax^2 + bx + c \geq 0$	$x \leq x_1 \vee x \geq x_2$	$\forall x \in \mathbb{R}$	$\forall x \in \mathbb{R}$
$ax^2 + bx + c > 0$	$x < x_1 \vee x > x_2$	$\forall x \in \mathbb{R}, x \neq x_1$	$\forall x \in \mathbb{R}$
$ax^2 + bx + c \leq 0$	$x_1 \leq x \leq x_2$	unica soluzione $x = x_1$	impossibile
$ax^2 + bx + c < 0$	$x_1 < x < x_2$	impossibile	impossibile

Metodo della Parabola

Il metodo della parabola consiste nell’analizzare il grafico della funzione quadratica associata. Si basa sul fatto che la parabola $y = ax^2 + bx + c$ avrà concavità verso l’alto se $a > 0$ e verso il basso se $a < 0$ .

Questo metodo richiede una conoscenza minima sulle parabole, concetto di geometria analitica nel piano.

1. Disegnare la parabola associata alla equazione

Andiamo innanzitutto a rappresentare graficamente la parabola dell’equazione associata.

y = ax^2 + bx + c

2. Determinare le intersezioni con l'asse delle x

Troviamo i valori di x1 e x2 dalla equazione associata e rappresentiamo le intersezioni su asse x.

Se delta è negativo e a > 0 o a < 0 , la parabola non interseca l’asse delle x, infatti l’equazione associata non ha soluzioni.

Se delta è = 0 , allora avremo due soluzioni coincidenti, dunque la soluzione sarà dipendente da a > 0 o a < 0 e il segno della disequazione. In base a questo capiremo se la soluzione sarà per ogni x o per nessuna x.

3. Identificare le regioni

Se delta è > 0 allora avremo due soluzioni, dunque dovremo identificare le regioni in cui la prabola è sopra o sotto l’asse x.

Trovi sotto esercizi svolti per comprendere in modo pratico questo concetto.

Adesso fermati un attimo.

Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
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Disequazioni di secondo grado esercizi

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per le varie tipologie.

Esercizio 1: Disequazione di secondo grado: esercizio con metodo algebrico

Risolviamo la disequazione:

3x^2 + 6x + 2 \geq 0

1. Osserviamo innanzitutto ch eil coefficiente di a è 3 > 0, duque non dobbiamo moltiplicare per -1 cambiando il segno

2. Risolviamo ora la equazione associata

\Delta = b^2 – 4ac = 6^2 – 4 \cdot 3 \cdot 2 = 36 – 24 = 12

Troviamo dunque le seguenti soluzioni:

x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{3} = -1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

3. Studiamo il segno

Dato che il delta è positivo e la disequazione è maggiore uguale di zero, gli intervalli dovranno essere quelli esterni (da tabella vista prima).

x \leq x_1 \quad \text{oppure} \quad x \geq x_2

Esercizio 2: Disequazione di secondo grado: esercizio con minore

2x^2 – 3x – 2 < 0

1. Calcoliamo il discriminante

\Delta = b^2 – 4ac = (-3)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25

Dato che il delta è positivo avremo due soluzioni.

2. Applichiamo la formula risolutiva

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}

Quindi le radici sono:

x_1 = \frac{3 – 5}{4} = -\frac{1}{2} \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2

3. Studiamo ora gli intervalli della disequazione

Poiché il segno è negativo, avremo i valori compresi:

x_1 < x < x_2

Dove $x_1 = -\frac{1}{2}$ e $x_2 = 2$ sono le radici calcolate.

Di seguito la tabella dei segni:

Intervallo	Segno della funzione
$(-\infty, x_1)$	$+$
$(x_1, x_2)$	$–$
$(x_2, +\infty)$	$+$

Esercizio 3: Disequazione di secondo grado esercizio con metodo della parabola

x^2 – 6x + 8 < 0

1. Scriviamo innanzitutto la equazione della parabola associata alla disequazione

y = x^2 – 6x + 8

Poiché il coefficiente di $x^2$ è positivo (cioè $a = 1$ ), la parabola ha concavità rivolta verso l’alto.

2. Trovare le radici dell’equazione associata:

x^2 – 6x + 8 = 0

\Delta = b^2 – 4ac = (-6)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 – 32 = 4

Le soluzioni sono:

x_1 = \frac{6 – \sqrt{4}}{2} = \frac{6 – 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4

3. Rappresentiamo dunque la parabola identificata:

La concavità come abbiamo detto è verso l’alto e ha due punti di intersezione con l’asse x come visto al punto 2.

4. Interpretiamo la parabola trovata

La parabola interseca l’asse delle $x$ nei punti $x = 2$ e $x = 4$ .
Dato che la parabola ha concavità rivolta verso l’alto, essa sarà al di sopra dell’asse delle $x$ per valori esterni agli zeri (radici) e al di sotto per valori interni agli zeri.

5. Determiniamo gli intervalli

La disequazione $x^2 – 6x + 8 < 0$ sarà soddisfatta nei punti in cui la parabola è al di sotto dell’asse delle $x$ .
Quindi, la parabola è sotto l’asse delle $x$ nell’intervallo compreso tra le radici:

2 < x < 4

Conclusioni

Le disequazioni goniometriche rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. La pratica con vari esercizi ti aiuterà a padroneggiare queste tecniche e ad applicarle con sicurezza in contesti reali e teorici.

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Disequazioni di Secondo Grado Esercizi

Definizione di Disequazione di Secondo Grado

Metodi di Risoluzione delle Disequazioni di Secondo Grado

Metodo Algebrico

1. Assicurarsi che il coefficiente direttore 𝑎 a sia positivo

2. Risoluzione dell'equazione associata

3. Studio del segno

Metodo della Parabola

1. Disegnare la parabola associata alla equazione

2. Determinare le intersezioni con l'asse delle x

3. Identificare le regioni

Adesso fermati un attimo.

Disequazioni di secondo grado esercizi

Esercizio 1: Disequazione di secondo grado: esercizio con metodo algebrico

Esercizio 2: Disequazione di secondo grado: esercizio con minore

Esercizio 3: Disequazione di secondo grado esercizio con metodo della parabola

Conclusioni

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