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Le disequazioni di secondo grado sono uno degli argomenti fondamentali del biennio in tutte le scuole superiori.
In questo articolo ti spieghiamo come operare per risolvere gli esercizi.
Se però hai una verifica o vuoi imparare il più in fretta possibile, puoi dare un’occhiata alla nostra selezione di video sulle disequazioni di secondo grado!
In meno di 2 ore imparerai risolvere anche esercizi complessi!
In questo articolo andremo a vedere:
Definizione di Disequazione di Secondo Grado
Le disequazioni di secondo grado, note anche come disequazioni quadratiche, sono disuguaglianze che coinvolgono polinomi di grado due. In forma standard, si presentano come:
dove
a, b e c sono numeri reali, a=0, e ⋄ può essere uno dei seguenti simboli: <, ≤, >, ≥.
- 2x2−3x+1>0
- −x2+4x−4≤0
- 3x2+6x+2≥0
Se vuoi un approfondimento sulla teoria puoi consultare questo articolo: Disequazioni di secondo grado.
Metodi di Risoluzione delle Disequazioni di Secondo Grado
La risoluzione degli esercizi sulle disequazioni di secondo grado, ha più metodi. Di seguito li vediamo.
Metodo Algebrico
Il metodo algebrico prevede la risoluzione delle disequazioni attraverso passaggi analitici, utilizzando l’equazione associata
1. Assicurarsi che il coefficiente direttore 𝑎 a sia positivo
2. Risoluzione dell'equazione associata
- Se Δ>0, l’equazione ha due soluzioni reali e distinte x1 e x2.
- Se Δ=0, l’equazione ha una soluzione reale doppia x1=x2.
- Se Δ<0, l’equazione non ha soluzioni reali.
Dunque a seconda dei casi, delta maggiore di zero, delta minore di zero e delta uguale a zero, avremo soluzioni differenti. Importante!! Le soluzioni sono sempre due!
3. Studio del segno
Lo studio del segno è una tecnica utilizzata in algebra per determinare gli intervalli in cui una funzione, come un polinomio, è positiva, negativa o nulla.
Consiste nell’analizzare le radici dell’equazione associata e valutare i segni della funzione nei vari intervalli determinati da queste radici.
Possiamo riassumere in questa tabella le casistiche:
- Δ=b2−4ac è il discriminante.
- x1 e x2 sono le radici dell’equazione ax2+bx+c=0.
- Δ>0: due radici reali distinte x1 e x2.
- Δ=0: una radice reale doppia x1=x2.
- Δ<0: nessuna radice reale (radici complesse).
Disequazione | Δ>0 | Δ=0 | Δ<0 |
---|---|---|---|
ax2+bx+c≥0 | x≤x1∨x≥x2 | ∀x∈R | ∀x∈R |
ax2+bx+c>0 | x<x1∨x>x2 | ∀x∈R,x=x1 | ∀x∈R |
ax2+bx+c≤0 | x1≤x≤x2 | unica soluzione x=x1 | impossibile |
ax2+bx+c<0 | x1<x<x2 | impossibile | impossibile |
Metodo della Parabola
Il metodo della parabola consiste nell’analizzare il grafico della funzione quadratica associata. Si basa sul fatto che la parabola y=ax2+bx+c avrà concavità verso l’alto se a>0 e verso il basso se a<0.
Questo metodo richiede una conoscenza minima sulle parabole, concetto di geometria analitica nel piano.
1. Disegnare la parabola associata alla equazione
Andiamo innanzitutto a rappresentare graficamente la parabola dell’equazione associata.
2. Determinare le intersezioni con l'asse delle x
Troviamo i valori di x1 e x2 dalla equazione associata e rappresentiamo le intersezioni su asse x.
Se delta è negativo e a > 0 o a < 0 , la parabola non interseca l’asse delle x, infatti l’equazione associata non ha soluzioni.
Se delta è = 0 , allora avremo due soluzioni coincidenti, dunque la soluzione sarà dipendente da a > 0 o a < 0 e il segno della disequazione. In base a questo capiremo se la soluzione sarà per ogni x o per nessuna x.
3. Identificare le regioni
Se delta è > 0 allora avremo due soluzioni, dunque dovremo identificare le regioni in cui la prabola è sopra o sotto l’asse x.
Trovi sotto esercizi svolti per comprendere in modo pratico questo concetto.
Adesso fermati un attimo.
Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
Sul nostro sito trovi video-lezioni di teoria ed esercizi svolti passo a passo su tutti gli argomenti di matematica della scuola superiore, comprese le equazioni. Vieni a dare un’occhiata!
Disequazioni di secondo grado esercizi
Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per le varie tipologie.
Esercizio 1: Disequazione di secondo grado: esercizio con metodo algebrico
Risolviamo la disequazione:
1. Osserviamo innanzitutto ch eil coefficiente di a è 3 > 0, duque non dobbiamo moltiplicare per -1 cambiando il segno
2. Risolviamo ora la equazione associata
3. Studiamo il segno
Dato che il delta è positivo e la disequazione è maggiore uguale di zero, gli intervalli dovranno essere quelli esterni (da tabella vista prima).
Esercizio 2: Disequazione di secondo grado: esercizio con minore
1. Calcoliamo il discriminante
Dato che il delta è positivo avremo due soluzioni.
2. Applichiamo la formula risolutiva
Quindi le radici sono:
3. Studiamo ora gli intervalli della disequazione
Poiché il segno è negativo, avremo i valori compresi:
Dove x1=−21 e x2=2 sono le radici calcolate.
Di seguito la tabella dei segni:
Intervallo | Segno della funzione |
---|---|
(−∞,x1) | + |
(x1,x2) | − |
(x2,+∞) | + |
Esercizio 3: Disequazione di secondo grado esercizio con metodo della parabola
Poiché il coefficiente di x2 è positivo (cioè a=1), la parabola ha concavità rivolta verso l’alto.
2. Trovare le radici dell’equazione associata:
3. Rappresentiamo dunque la parabola identificata:
La concavità come abbiamo detto è verso l’alto e ha due punti di intersezione con l’asse x come visto al punto 2.
![disequazioni metodo della parabola](https://edurocket.it/wp-content/uploads/2024/07/parabola-768x578.webp)
4. Interpretiamo la parabola trovata
- La parabola interseca l’asse delle x nei punti x=2 e x=4.
- Dato che la parabola ha concavità rivolta verso l’alto, essa sarà al di sopra dell’asse delle x per valori esterni agli zeri (radici) e al di sotto per valori interni agli zeri.
5. Determiniamo gli intervalli
- La disequazione x2−6x+8<0 sarà soddisfatta nei punti in cui la parabola è al di sotto dell’asse delle x.
- Quindi, la parabola è sotto l’asse delle x nell’intervallo compreso tra le radici:
Conclusioni
Le disequazioni goniometriche rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. La pratica con vari esercizi ti aiuterà a padroneggiare queste tecniche e ad applicarle con sicurezza in contesti reali e teorici.
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