Disequazioni Goniometriche Esercizi

Le disequazioni goniometriche sono un argomento fondamentale nel curriculum di matematica per studenti delle scuole superiori.

In questo articolo andremo a vedere esercizi svolti sulle disequazioni goniometriche. Comprendere come risolverle è cruciale per affrontare numerosi problemi matematici e applicazioni in fisica e ingegneria.

Trovi qui un articolo sulle equazioni goniometriche.

Cosa sono le disequazioni goniometriche?

Una disequazione goniometrica è una disequazione che coinvolge funzioni trigonometriche come seno, coseno, tangente e cotangente.

Esempi comuni includono:

sin(x)<a,cos(x)a,tan(x)>a,cot(x)a\sin(x) < a, \quad \cos(x) \leq a, \quad \tan(x) > a, \quad \cot(x) \geq a

è un numero reale qualsiasi.

Come Risolvere le Disequazioni Goniometriche

Non c’è purtroppo un metodo univico per risolvere gli esercizi sulle disequazioni goniometriche. Ti proponiamo però una serie di passaggi utili a risolvere le forme di disequazioni goniometriche elementari.

Se la disequazione goniometrica che devi risolvere non è già nella forma elementare, puoi applicare una serie di proprietà goniometriche, archi associati o sostituzioni per ricondurti a queste forme.

1. Identificare l’Equazione Associata:

Prima di tutto, identifichiamo l’equazione associata alla disequazione. Ad esempio, per risolvere cos(x)22\cos(x) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}, consideriamo l’equazione cos(x)=22\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}.

2. Determinare le Soluzioni sull’Intervallo Fondamentale:

Identifichiamo per l’equazione associata, le soluzioni, dunque ad esempio per il caso precedente avremo:

Le soluzioni dell’equazione cos(x)=22\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} sono x=π4+2kπx = \frac{\pi}{4} + 2k\pi e x=π4+2kπx = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi con kZk \in \mathbb{Z}.

3. Applicare le soluzioni trovate alla disequazione:

L’equazione associata ci da delle soluzioni che possiamo identificare sulla circonferenza goniometrica. Queste soluzioni rappresentano dei punti, siccome stiamo risolvendo una disequazione , dobbiamo trovare gli intervalli associati, in base al segno, come vedi nell’immagine:

disequazione goniometrica

Per la disequazione cos(x)22\cos(x) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}, identifichiamo gli intervalli sulla circonferenza goniometrica dove questa condizione è soddisfatta. La soluzione sarà: π4+2kπx7π4+2kπ,kZ\frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Questo perché, come vedi dall’immagine stiamo cercando tutti i valori in cui il coseno dell’angolo x è minore, ragioniamo dunque rispetto alle ascisse e la sezione è quella evidenziata in rosso.

4. Generalizziamo la soluzione trovata:

Estendiamo le soluzioni per xx su tutto l’intervallo reale, ricordando di considerare tutte le rotazioni complete sulla circonferenza goniometrica.

Adesso fermati un attimo.

Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
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Esercizi disequazioni goniometriche

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per le varie tipologie.

Esercizio 1: disequazione goniometrica elementare

Risolviamo la disequazione

sin(x)>32\sin(x) > \frac{\sqrt{3}}{2}

1. Determiniamo innanzitutto le soluzioni della equazione associata:

sin(x)=32\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Sappiamo che: sin(π3)=32\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} e anche: sin(2π3)=32\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Quindi le soluzioni dell’equazione sin(x)=32\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} sono: x=π3+2kπex=2π3+2kπper ogni kZx = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{e} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{per ogni } k \in \mathbb{Z}

2. Determiniamo gli intervalli della disequazione:

Per la disequazione sin(x)>32\sin(x) > \frac{\sqrt{3}}{2}, dobbiamo trovare gli intervalli in cui il seno è maggiore di 32\frac{\sqrt{3}}{2}.

Dalla circonferenza goniometrica, sappiamo che il seno è maggiore di 32\frac{\sqrt{3}}{2} negli intervalli: π3<x<2π3mod 2π\frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3} \quad \text{mod } 2\pi

disequazione goniometrica 2

3. Considerando la periodicità ed esprimendo la disequazione in termini più generali otteniamo:

La soluzione della disequazione sin(x)>32\sin(x) > \frac{\sqrt{3}}{2} può essere espressa come: x(π3+2kπ,2π3+2kπ)per ogni kZx \in \left( \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \right) \quad \text{per ogni } k \in \mathbb{Z}

Esercizio 2: disequazione goniometrica lineare

2sin(x)cos(x)<12\sin(x) – \cos(x) < 1

1. Utilizziamo in questo caso le formule parametriche andando a svolgere la sostituzione

sin(x)=2t1+t2ecos(x)=1t21+t2\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2} \quad \text{e} \quad \cos(x) = \frac{1 – t^2}{1 + t^2}

Ricordiamoci che:

t=tan(x2)t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)

Andiamo dunque a sostituire nella disequazione originale:

2(2t1+t2)(1t21+t2)<12 \left( \frac{2t}{1 + t^2} \right) – \left( \frac{1 – t^2}{1 + t^2} \right) < 1

2. Andiamo ora a risolvere la disequazione associata

Moltiplichiamo tutto per 1+t21 + t^2 per eliminare il denominatore:

22t1+t2(1+t2)1t21+t2(1+t2)<1(1+t2)2 \cdot \frac{2t}{1 + t^2} \cdot (1 + t^2) – \frac{1 – t^2}{1 + t^2} \cdot (1 + t^2) < 1 \cdot (1 + t^2)

Questa semplificazione diventa:

4t(1t2)<1+t24t – (1 – t^2) < 1 + t^2

Riorganizziamo i termini:

4t1+t2<1+t24t – 1 + t^2 < 1 + t^2

Sottraiamo t2t^2 da entrambi i lati:

4t1<14t – 1 < 1
4t<24t < 2
t<12t < \frac{1}{2}

3. Riapplichiamo ora la sostituzione per trovare gli angoli e risolvere in x

Poiché t=tan(x2)t = \tan\left(\frac{x}{2}\right), abbiamo:

tan(x2)<12\tan\left(\frac{x}{2}\right) < \frac{1}{2}

Per trovare gli intervalli di xx che soddisfano questa disequazione, consideriamo gli intervalli della funzione tan\tan. Poiché la tangente è periodica con periodo π\pi, dobbiamo trovare l’intervallo principale e poi estendere alle soluzioni generali.

L’intervallo principale in 2 π è:

π2<x2<π2-\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}

Moltiplichiamo per 2 e otteniamo:

π<x<π-\pi < x < \pi

Ora consideriamo la condizione tan(x2)<12\tan\left(\frac{x}{2}\right) < \frac{1}{2}:

x2<tan1(12)\frac{x}{2} < \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)

Pertanto, le soluzioni sono:

π<x<2tan1(12)-\pi < x < 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)

4. Troviamo ora le soluzioni generali

Poiché la tangente è periodica con periodo 𝜋 π, le soluzioni generali sono
x=2tan1(12)+2kπperkZx = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + 2k\pi \quad \text{per} \quad k \in \mathbb{Z}

e

x=π+2kπperkZx = -\pi + 2k\pi \quad \text{per} \quad k \in \mathbb{Z}

Quindi, la soluzione della disequazione 2sin(x)cos(x)<12\sin(x) – \cos(x) < 1 in forma generale è data dagli intervalli:

2kππ<x<2kπ+2tan1(12)perkZ2k\pi – \pi < x < 2k\pi + 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \quad \text{per} \quad k \in \mathbb{Z}

Esercizio 3: disequazione goniometrica con metodo sostituzione

4sin2(x)23sin(x)6<04\sin^2(x) – 2\sqrt{3}\sin(x) – 6 < 0

1. Applichiamo innanzitutto la sostituzione

Sostituzione: Poni y=sin(x)y = \sin(x). La disequazione diventa: 4y223y6<04y^2 – 2\sqrt{3}y – 6 < 0

2. Risolviamo la disequazione associata

Utilizziamo la formula risolutiva delle equazioni quadratiche ay2+by+c=0ay^2 + by + c = 0: y=b±b24ac2ay = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

y=23±(23)244(6)24y = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 – 4 \cdot 4 \cdot (-6)}}{2 \cdot 4}
y=23±12+968y = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 96}}{8}
y=23±1088y = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{108}}{8}
y=23±638y = \frac{2\sqrt{3} \pm 6\sqrt{3}}{8}
y=23+638=838=3y = \frac{2\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{8} = \frac{8\sqrt{3}}{8} = \sqrt{3}
y=23638=438=32y = \frac{2\sqrt{3} – 6\sqrt{3}}{8} = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Quindi, le soluzioni dell’equazione quadratica sono: y1=3y_1 = \sqrt{3} y2=32y_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}

3. Torniamo ai termini di sen(x)

Poiché y=sin(x)y = \sin(x) deve essere compreso tra 1-1 e 11, verifichiamo che le soluzioni rientrino in questo intervallo.

Notiamo che: y1=31.73y_1 = \sqrt{3} \approx 1.73

La soluzione y1y_1 non è compresa nell’intervallo [1,1][-1, 1], quindi non ci interessa. Invece, la soluzione y2y_2 è all’interno dell’intervallo.

La soluzione viene dunque scartata e viene considerato il limite, ossia 1. 

Consideriamo i valori interni della disequazione, quindi:

32<sin(x)<1-\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin(x) < 1

4. Risolviamo ora due disequazioni goniometriche

Troviamo gli angoli corrispondenti agli estremi: sin(x)=32\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Gli angoli corrispondenti sono: x=arcsin(32)x = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) e x=πarcsin(32)x = \pi – \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

Sapendo che arcsin(32)=π3\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}, otteniamo: x=π3x = -\frac{\pi}{3} e x=π(π3)=π+π3=4π3x = \pi – \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}

Perciò, la soluzione della disequazione 4sin2(x)23sin(x)6<04\sin^2(x) – 2\sqrt{3}\sin(x) – 6 < 0 sarà: π3<x<4π3-\frac{\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3}

Poiché la funzione seno è periodica con periodo 2π2\pi, consideriamo i valori di xx all’interno del periodo [0,2π)[0, 2\pi):

5. Esprimiamo in forma generale, considerando la periodicità:

La soluzione della disequazione 4sin2(x)23sin(x)6<04\sin^2(x) – 2\sqrt{3}\sin(x) – 6 < 0 all’interno di un periodo sarà: x(π3,4π3)x \in \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right)

Quindi, i valori di xx che soddisfano la disequazione sono tutti gli xx nell’intervallo aperto π3-\frac{\pi}{3} a 4π3\frac{4\pi}{3}.

Conclusioni

Le disequazioni goniometriche rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. La pratica con vari esercizi ti aiuterà a padroneggiare queste tecniche e ad applicarle con sicurezza in contesti reali e teorici. 

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