Le disequazioni di secondo grado rappresentano un argomento fondamentale nello studio della matematica per la scuola superiore.
Saperle risolvere è importante per affrontare molti problemi, in questo articolo ti insegnamo come utilizzarle.
Se però hai una verifica o vuoi imparare il più in fretta possibile, puoi dare un’occhiata alla nostra selezione di video sulle disequazioni di secondo grado!
Cos'è una disequazione di secondo grado
Prima di immergerci nelle tecniche risolutive, è importante definire cosa sia una disequazione di secondo grado. Una disequazione di questo tipo è una disuguaglianza in cui il termine di grado massimo è una variabile elevata al quadrato (x²) con coefficienti reali. La sua forma generale è:
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≤ 0
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≥ 0
dove a, b e c sono coefficienti reali ed a ≠ 0.
L’obiettivo è trovare gli intervalli di valori per i quali la disequazione sia soddisfatta.
Per raggiungere questo obiettivo, dobbiamo considerare il valore del discriminante delta (Δ) dell’equazione quadratica, che è dato dalla formula:
Δ = b² – 4ac
Come risolvere le disequazioni di secondo grado
Dividiamo le tecniche risolutive per i tre casi principali in base al valore di delta: delta maggiore di zero, delta uguale a zero e delta minore di zero.
Trattiamo le disequazioni come se fossero equazioni per calcolare i valori degli intervalli in cui la disequazione è soddisfatta.
- Verifichiamo che il termine con x² sia positivo. se è negativo, rendiamolo positivo cambiando segno a tutti i termini della disequazione e invertendo il segno.
- Calcoliamo il valore del discriminante Delta con la formula: Δ = b² – 4ac
- Troviamo le radici dell’equazione quadratica utilizzando la formula:
x₁ = (-b + √Δ) / (2a)
x₂ = (-b – √Δ) / (2a) - Determiniamo gli intervalli di valori che possiamo assegnare ad X e che rendono la disequazione soddisfatta. Per fare ciò, osserviamo il segno della disequazione e quello del delta.
A seconda di come si combinano, abbiamo differenti casistiche: le elenchiamo tutte di seguito.
Delta maggiore di zero (Δ > 0)
Quando delta è maggiore di zero, l’equazione ha due soluzioni reali distinte.
Per determinare gli intervalli di x per i quali l’equazione sia soddisfatta, possiamo seguire questo schema:
- (segno della disequazione) maggiore di zero: ax² + bx + c > 0
- (soluzione) valori esterni: x < x₁ unito x > x₂
- (segno della disequazione) minore di zero: ax² + bx + c < 0
- (soluzione) valori interni: x₁ < x < x
se nel segno della disequazione appare il termine maggiore-uguale (≥) oppure minore-uguale (≤) la regola non cambia. basta aggiungere il segno di uguaglianza al risultato determinato con le regole appena mostrate.
Valori interni o esterni?
la regola d’oro in questo caso è ricordarsi che se Delta è positivo ed il segno della disequazione è positivo, allora i segni sono concordi. Quindi non litigano, quindi nessuno va in prigione, quindi i valori stanno fuori: sono esterni. Viceversa, se Delta è positivo ed il segno è negativo, i valori sono discorsi, quindi litigano, quindi vanno in prigione e quindi i valori stanno dentro: sono interni.
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Delta uguale a zero (Δ = 0)
Quando delta è uguale a zero, l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti ed in particolare x₁= x₂
Per determinare la soluzione dobbiamo seguire queste regole:
- (segno della disequazione) maggiore di zero: ax² + bx + c > 0
- (soluzione) tutti i valori di x, escluso quello calcolato: ∀x, x ≠ x₁
- (segno della disequazione) maggiore-uguale a zero: ax² + bx + c ≥ 0
- (soluzione) tutti i valori di x: ∀x
- (segno della disequazione) minore di zero: ax² + bx + c < 0
- (soluzione) nessuna soluzione reale: ∄ x
- (segno della disequazione) minore-uguale a zero: ax² + bx + c ≤ 0
- (soluzione) una sola soluzione, coincidente ad x: x = x₁
Delta minore di zero (Δ < 0)
Quando delta è minore di zero, l’equazione non ha soluzioni reali. In questo caso, la disequazione può essere soddisfatta o per qualsiasi valore di x o da nessun valore assegnato ad x.
- (segno della disequazione) maggiore di zero: ax² + bx + c > 0
- (soluzione) tutti i valori di x: ∀x
- (segno della disequazione) minore di zero: ax² + bx + c < 0
- (soluzione) nessuna soluzione reale: ∄ x
se nel segno della disequazione appare il termine maggiore-uguale (≥) oppure minore-uguale (≤) la regola non cambia, basta seguire le regole appena mostrate per strettamente minore o maggiore.
Disequazioni di secondo grado: esercizi svolti
Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per consolidare la comprensione delle disequazioni di secondo grado. Questi esercizi ti aiuteranno a fissare una tecnica risolutiva step-by-step e a vedere con degli esempi quello che abbiamo visto finora a livello teorico.
Esercizio 1
Risolvi la seguente disequazione: 2x² – 5x + 2 > 0.
Passaggio 1: Controlliamo il segno del termine quadratico:
2x² è positivo, quindi non cambiamo di segno la disequazione.
Passaggio 2: Calcola il discriminante delta (Δ):
Δ = b² – 4ac = (-5)² – 4(2)(2) = 25 – 16 =
Δ = 9
Passaggio 3: Determina le soluzioni dell’equazione quadratica:
x₁ = (-b + √Δ) / (2a) = (-(-5) + √9) / (2(2)) = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 =
x₁ = 2
x₂ = (-b – √Δ) / (2a) = (-(5) – √9) / (2(2)) = (-5 – 3) / 4 = -8 / 4 =
x₂ = -2
Le radici dell’equazione sono x₁ = 2 e x₂ = -2.
Passaggio 4: Determina gli intervalli di x in cui l’equazione è soddisfatta:
Osserviamo che il segno della disequazione è >0 ed anche Δ>0, quindi sono concordi.
Prendiamo quindi i valori esterni, pertanto la soluzione della disequazione è: x < -2 unito x > 2.
Esercizio 2
Risolvi la seguente disequazione: x² – 4x + 4 ≤ 0.
Passaggio 1: Controlliamo il segno del termine quadratico:
1x² è positivo, quindi non cambiamo di segno la disequazione.
Passaggio 2: Calcola il discriminante delta (Δ):
Δ = b² – 4ac = (-4)² – 4(1)(4) = 16 – 16 =
Δ = 0
Passaggio 3: Determina le soluzioni dell’equazione quadratica:
x₁ = x₂ = -b / (2a) = -(-4) / (2(1)) = 4 / 2 =
x = 2
Le radici dell’equazione sono x₁ = x₂ = 2.
Passaggio 4: Determina gli intervalli di x in cui l’equazione è soddisfatta:
Osserviamo che il segno della disequazione è ≤ 0 e Δ=0, quindi siamo nel caso in cui la disequazione è valida per il valore di x calcolato.
La soluzione della disequazione è: x = 2.
Esercizio 3
Risolvi la seguente disequazione: 3x² + 2x + 1 < 0.
Passaggio 1: Controlliamo il segno del termine quadratico:
3x² è positivo, quindi non cambiamo di segno la disequazione.
Passaggio 2: Calcola il discriminante delta (Δ):
Δ = b² – 4ac = (2)² – 4(3)(1) = 4 – 12 =
Δ = -8
Passaggio 3: Determina le soluzioni dell’equazione quadratica:
Delta è minore di zero (Δ < 0), quindi l’equazione non ha soluzioni reali
Passaggio 4: Determina gli intervalli di x in cui l’equazione è soddisfatta:
Osserviamo che il segno della disequazione è < 0 e anche Δ<0, quindi siamo nel caso in cui non esiste nessuna soluzione che soddisfi la disequazione.
La soluzione della disequazione è: ∄ x.
Conclusioni
Le disequazioni di secondo grado rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. Con una comprensione delle tecniche risolutive per i diversi valori di delta, è possibile determinare gli intervalli di x per i quali le disequazioni sono soddisfatte. Tutto in maniera semplice ed efficace. è necessario ricordare bene le varie casistiche, ma praticando con vari esercizi ti verrà automatico ricordarle, dopo un po’ di tempo!
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