La scomposizione di polinomi è una competenza fondamentale nello studio dell’algebra nelle scuole superiori.
Saper scomporre un polinomio è cruciale per risolvere equazioni, semplificare espressioni e comprendere le proprietà dei polinomi stessi.
In questo articolo, esploreremo le tecniche per scomporre polinomi, con un’attenzione particolare su come il numero di termini influisce sulla strategia di scomposizione.
Cosa troverai in questo articolo:
Cosa vuol dire scomporre un polinomio?
La scomposizione di un polinomio è la suddivisione dello stesso in un prodotto di due o più polinomi più semplici.
Questo ci consente di semplificare il polinomio originale, renderlo più facile da gestire e ottenere informazioni più utili quando si andrà a studiarlo (ad esempio in quinta, negli studi di funzione).
Qual è la difficoltà principale della scomposizione dei polinomi?
La difficoltà principale nello scomporre polinomi risiede spesso nel riconoscere quale tecnica utilizzare.
La scelta della tecnica di scomposizione dipende da diversi fattori, come il numero di termini presenti nel polinomio o i coefficienti dei termini.
Ad esempio, un polinomio con due termini può richiedere l’applicazione della differenza di quadrati, mentre un polinomio con tre termini può richiedere la scomposizione per fattorizzazione, il completamento del quadrato o la regola di Ruffini.
Questo è un argomento difficile, perchè devi memorizzare le diverse tecniche di scomposizione, oltre che sviluppare la capacità di riconoscere a colpo d’occhio la giusta tecnica da applicare.
Come in tutti gli argomenti della matematica, queste competenze si acquisiscono svolgendo molti esercizi.
Se vuoi acquisirle più rapidamente, nella nostra piattaforma trovi molti video di spiegazione ed esercizi svolti per questo e tanti altri argomenti.
Come riconoscere quale tecnica utilizzare
Un approccio rapido e generalmente molto efficace è quello di contare i termini del polinomio!
Ti consigliamo di memorizzare il trucchetto del numero dei termini del polinomio.
Imparando quali scomposizioni vengono generalmente usate per un polinomio con un certo numero di termini, sarà più veloce riconoscere la tecnica da utilizzare.
In questo articolo ci focalizzeremo sul memorizzare il trucchetto del numero di termini.
Spiegheremo anche come eseguire le varie tecniche, ma con semplici esempi.
Per una spiegazione più approfondita di ogni tecnica, ti rimandiamo al relativo articolo.
Raccoglimento totale
Prima di contare i termini, però, è buona regola verificare se è possibile fare un raccoglimento totale, ovvero trovare un fattore che appare in tutti i termini del polinomio e quindi “raccoglierlo” come un fattore comune.
Ad esempio, considera il polinomio 3x² + 6x.
Possiamo notare che entrambi i termini hanno un fattore comune di 3x. Quindi, possiamo raccogliere 3x come fattore comune:
3x² + 6x = 3x(x + 2)
Se non possiamo operare raccoglimenti a fattore comune, allora possiamo provare a contare i termini
Scomposizione di polinomi con 2 termini
La scomposizione di polinomi con due termini può essere eseguita utilizzando diverse tecniche, tra cui la differenza di quadrati, la differenza di cubi e la somma di cubi. Ecco una spiegazione rapida di queste tecniche:
Differenza di quadrati
La differenza di quadrati si applica quando abbiamo un polinomio nella forma a² – b².
Possiamo scomporlo in (a + b)(a – b).
Ad esempio, per scomporre il polinomio x² – 4, possiamo scrivere (x + 2)(x – 2).
Differenza di cubi
La differenza di cubi viene utilizzata quando abbiamo un polinomio nella forma a³ – b³.
Possiamo scomporlo utilizzando l’identità algebrica (a – b)(a² + ab + b²).
Ad esempio, per scomporre il polinomio 8x³ – 27, possiamo scrivere (2x – 3)(4x² + 6x + 9).
Somma di cubi
La somma di cubi si applica quando abbiamo un polinomio nella forma a³ + b³.
Possiamo scomporlo utilizzando l’identità algebrica (a + b)(a² – ab + b²).
Ad esempio, per scomporre il polinomio x³ + 8, possiamo scrivere (x + 2)(x² – 2x + 4).
Scomposizione di polinomi con 3 termini
Per scomporre polinomi con tre termini, due tecniche comuni sono il quadrato del binomio e il trinomio speciale. Ecco una spiegazione rapida di entrambe le tecniche:
Quadrato del binomio
La tecnica del quadrato del binomio si applica quando abbiamo un polinomio nella forma (a + b)² o (a – b)².
Possiamo scomporlo utilizzando l’identità algebrica (a + b)² = a² + 2ab + b² o (a – b)² = a² – 2ab + b².
Ad esempio, per scomporre il polinomio x² + 4x + 4, possiamo riconoscere che è il quadrato del binomio (x + 2)².
Trinomio speciale (o trinomio caratteristico)
Il trinomio speciale si applica quando abbiamo un polinomio nella forma a² + b² + 2ab oppure a² + b² – 2ab.
Possiamo scomporlo utilizzando l’identità algebrica a² + b² + 2ab = (a + b)² oppure a² + b² – 2ab = (a – b)².
Ad esempio, per scomporre il polinomio x² + 6x + 9, possiamo riconoscere che è un trinomio speciale, che può essere scomposto in (x + 3)².
Scomposizione di polinomi con 4 termini
Per scomporre polinomi con quattro termini, due tecniche comuni sono il cubo di un binomio e il raccoglimento parziale. Ecco una spiegazione rapida di entrambe le tecniche:
Cubo di un binomio
La tecnica del cubo di un binomio si applica quando abbiamo un polinomio nella forma (a + b)³ oppure (a – b)³.
Possiamo scomporlo utilizzando l’identità algebrica (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ oppure (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.
Ad esempio, per scomporre il polinomio x³ + 3x² + 3x + 1, possiamo riconoscere che è il cubo del binomio (x + 1)³.
Raccoglimento parziale
La tecnica del raccoglimento parziale si applica quando abbiamo un polinomio che può essere suddiviso in gruppi con fattori comuni.
Possiamo scomporlo separando i termini in gruppi e quindi raccogliendo i fattori comuni in ciascun gruppo.
Ad esempio, per scomporre il polinomio x³ + 4x² + 3x + 12, possiamo raggruppare i termini come (x³ + 4x²) + (3x + 12) e raccogliere i fattori comuni in ciascun gruppo: x²(x + 4) + 3(x + 4).
Quindi, possiamo raccogliere ulteriormente il fattore comune (x + 4) per ottenere la forma scomposta (x + 4)(x² + 3).
Scomposizione di polinomi con 5 termini
Per scomporre polinomi con cinque termini, è possibile usare la regola di Ruffini o il raccoglimento parziale.
Per il raccoglimento parziale, si procede in maniera analoga a quanto appena visto per i polinomi con 4 termini.
La regola di Ruffini invece è applicabile a qualsiasi polinomio, con qualsiasi numero di termini.
Rimandiamo al relativo articolo per vedere gli esempi.
Scomposizione di polinomi con 6 termini
Per scomporre polinomi con sei termini, due tecniche comuni sono il quadrato di trinomio e il raccoglimento parziale. Ecco una spiegazione rapida della prima:
Quadrato di trinomio
La tecnica del cubo di un binomio si applica quando abbiamo un polinomio nella forma a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.
Possiamo scomporlo utilizzando l’identità algebrica (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.
Ad esempio, per scomporre il polinomio 4x⁴ + 12x²y + 4x² + 9y² + 6y + 1, possiamo riconoscere che è il quadrato del trinomio(2x² + 3y + 1)².
Scomposizione di polinomi con 7 o più termini
Per scomporre polinomi con 7 o più termini, è possibile usare la regola di Ruffini o il raccoglimento parziale.
Anche in questo caso rimandiamo all’articolo sulla regola di ruffini per una esemplificazione.
Conclusioni
Queste tecniche di scomposizione sono utili per semplificare i polinomi e trovare i fattori comuni.
Tuttavia, è importante notare che queste tecniche si applicano solo a specifici tipi di polinomi e seguono modelli predefiniti.
Altre tecniche di scomposizione possono essere necessarie per polinomi con termini diversi o complessi.
L’approccio basato sul numero dei termini rimane comunque molto efficace per identificare efficacemente e con buona probabilità di successo la tecnica da applicare durante gli esercizi.
Video di spiegazioni ed esercizi svolti su tutti gli argomenti
Per imparare ad eseguire velocemente le scomposizioni di polinomi, è importante esercitarsi con esempi e seguire attentamente i passaggi della divisione. Sul nostro sito trovi videolezioni di spiegazione e, sopratutto, video di esercizi svolti passo a passo. Vieni a dare un’occhiata!
