Le disequazioni di secondo grado rappresentano un argomento fondamentale nello studio della matematica per la scuola superiore. Saperle risolvere è importante per risolvere problemi diversi, come trovare i segni di una funzione quadratica o analizzare il comportamento delle variabili reali.
Cos'è una disequazione di secondo grado
Prima di immergerci nelle tecniche risolutive, è importante definire cosa sia una disequazione di secondo grado. Una disequazione di questo tipo è una disuguaglianza in cui il termine di grado massimo è una variabile elevata al quadrato (x²) con coefficienti reali. La sua forma generale è:
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≤ 0
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≥ 0
dove a, b e c sono coefficienti reali ed a ≠ 0.
L’obiettivo è trovare gli intervalli di valori per i quali la disequazione sia soddisfatta.
Per raggiungere questo obiettivo, dobbiamo considerare il valore del discriminante delta (Δ) dell’equazione quadratica, che è dato dalla formula:
Δ = b² – 4ac
Come risolvere le disequazioni di secondo grado
Dividiamo le tecniche risolutive per i tre casi principali in base al valore di delta: delta maggiore di zero, delta uguale a zero e delta minore di zero.
Trattiamo le disequazioni come se fossero equazioni per calcolare i valori degli intervalli in cui la disequazione è soddisfatta.
- Verifichiamo che il termine con x² sia positivo. se è negativo, rendiamolo positivo cambiando segno a tutti i termini della disequazione e invertendo il segno.
- Calcoliamo il valore del discriminante Delta con la formula: Δ = b² – 4ac
- Troviamo le radici dell’equazione quadratica utilizzando la formula:
x₁ = (-b + √Δ) / (2a)
x₂ = (-b – √Δ) / (2a) - Determiniamo gli intervalli di valori che possiamo assegnare ad X e che rendono la disequazione soddisfatta. Per fare ciò, osserviamo il segno della disequazione e quello del delta.
A seconda di come si combinano, abbiamo differenti casistiche: le elenchiamo tutte di seguito.
Delta maggiore di zero (Δ > 0)
Quando delta è maggiore di zero, l’equazione ha due soluzioni reali distinte.
Per determinare gli intervalli di x per i quali l’equazione sia soddisfatta, possiamo seguire questo schema:
- (segno della disequazione) maggiore di zero: ax² + bx + c > 0
- (soluzione) valori esterni: x < x₁ unito x > x₂
- (segno della disequazione) minore di zero: ax² + bx + c < 0
- (soluzione) valori interni: x₁ < x < x
se nel segno della disequazione appare il termine maggiore-uguale (≥) oppure minore-uguale (≤) la regola non cambia. basta aggiungere il segno di uguaglianza al risultato determinato con le regole appena mostrate.
Valori interni o esterni?
la regola d’oro in questo caso è ricordarsi che se Delta è positivo ed il segno della disequazione è positivo, allora i segni sono concordi. Quindi non litigano, quindi nessuno va in prigione, quindi i valori stanno fuori: sono esterni. Viceversa, se Delta è positivo ed il segno è negativo, i valori sono discorsi, quindi litigano, quindi vanno in prigione e quindi i valori stanno dentro: sono interni.
Delta uguale a zero (Δ = 0)
Quando delta è uguale a zero, l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti ed in particolare x₁= x₂
Per determinare la soluzione dobbiamo seguire queste regole:
- (segno della disequazione) maggiore di zero: ax² + bx + c > 0
- (soluzione) tutti i valori di x, escluso quello calcolato: ∀x, x ≠ x₁
- (segno della disequazione) maggiore-uguale a zero: ax² + bx + c ≥ 0
- (soluzione) tutti i valori di x: ∀x
- (segno della disequazione) minore di zero: ax² + bx + c < 0
- (soluzione) nessuna soluzione reale: ∄ x
- (segno della disequazione) minore-uguale a zero: ax² + bx + c ≤ 0
- (soluzione) una sola soluzione, coincidente ad x: x = x₁
Delta minore di zero (Δ < 0)
Quando delta è minore di zero, l’equazione non ha soluzioni reali. In questo caso, la disequazione può essere soddisfatta o per qualsiasi valore di x o da nessun valore assegnato ad x.
- (segno della disequazione) maggiore di zero: ax² + bx + c > 0
- (soluzione) tutti i valori di x: ∀x
- (segno della disequazione) minore di zero: ax² + bx + c < 0
- (soluzione) nessuna soluzione reale: ∄ x
se nel segno della disequazione appare il termine maggiore-uguale (≥) oppure minore-uguale (≤) la regola non cambia, basta seguire le regole appena mostrate per strettamente minore o maggiore.
Adesso fermati un attimo.
Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
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Disequazioni di 2° grado: esercizi svolti
Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per consolidare la comprensione delle disequazioni di secondo grado. Questi esercizi ti aiuteranno a fissare una tecnica risolutiva step-by-step e a vedere con degli esempi quello che abbiamo visto finora a livello teorico.
Esercizio 1
Risolvi la seguente disequazione: 2x² – 5x + 2 > 0.
Passaggio 1: Controlliamo il segno del termine quadratico:
2x² è positivo, quindi non cambiamo di segno la disequazione.
Passaggio 2: Calcola il discriminante delta (Δ):
Δ = b² – 4ac = (-5)² – 4(2)(2) = 25 – 16 =
Δ = 9
Passaggio 3: Determina le soluzioni dell’equazione quadratica:
x₁ = (-b + √Δ) / (2a) = (-(-5) + √9) / (2(2)) = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 =
x₁ = 2
x₂ = (-b – √Δ) / (2a) = (-(5) – √9) / (2(2)) = (-5 – 3) / 4 = -8 / 4 =
x₂ = -2
Le radici dell’equazione sono x₁ = 2 e x₂ = -2.
Passaggio 4: Determina gli intervalli di x in cui l’equazione è soddisfatta:
Osserviamo che il segno della disequazione è >0 ed anche Δ>0, quindi sono concordi.
Prendiamo quindi i valori esterni, pertanto la soluzione della disequazione è: x < -2 unito x > 2.
Esercizio 2
Risolvi la seguente disequazione: x² – 4x + 4 ≤ 0.
Passaggio 1: Controlliamo il segno del termine quadratico:
1x² è positivo, quindi non cambiamo di segno la disequazione.
Passaggio 2: Calcola il discriminante delta (Δ):
Δ = b² – 4ac = (-4)² – 4(1)(4) = 16 – 16 =
Δ = 0
Passaggio 3: Determina le soluzioni dell’equazione quadratica:
x₁ = x₂ = -b / (2a) = -(-4) / (2(1)) = 4 / 2 =
x = 2
Le radici dell’equazione sono x₁ = x₂ = 2.
Passaggio 4: Determina gli intervalli di x in cui l’equazione è soddisfatta:
Osserviamo che il segno della disequazione è ≤ 0 e Δ=0, quindi siamo nel caso in cui la disequazione è valida per il valore di x calcolato.
La soluzione della disequazione è: x = 2.
Esercizio 3
Risolvi la seguente disequazione: 3x² + 2x + 1 < 0.
Passaggio 1: Controlliamo il segno del termine quadratico:
3x² è positivo, quindi non cambiamo di segno la disequazione.
Passaggio 2: Calcola il discriminante delta (Δ):
Δ = b² – 4ac = (2)² – 4(3)(1) = 4 – 12 =
Δ = -8
Passaggio 3: Determina le soluzioni dell’equazione quadratica:
Delta è minore di zero (Δ < 0), quindi l’equazione non ha soluzioni reali
Passaggio 4: Determina gli intervalli di x in cui l’equazione è soddisfatta:
Osserviamo che il segno della disequazione è < 0 e anche Δ<0, quindi siamo nel caso in cui non esiste nessuna soluzione che soddisfi la disequazione.
La soluzione della disequazione è: ∄ x.
Conclusioni
Le disequazioni di secondo grado rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. Con una comprensione delle tecniche risolutive per i diversi valori di delta, è possibile determinare gli intervalli di x per i quali le disequazioni sono soddisfatte. Tutto in maniera semplice ed efficace. è necessario ricordare bene le varie casistiche, ma praticando con vari esercizi ti verrà automatico ricordarle, dopo un po’ di tempo!
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