Disequazioni di secondo grado. Spiegazione ed esercizi svolti [ Vai al contenuto](#content) [![edurocket: intelligenza artificiale per studenti](https://edurocket.it/wp-content/uploads/2025/02/cropped-cropped-WebSite_Logo_Header_AI-04-265x68.png)](https://edurocket.it/) Menu principale # Disequazioni di secondo grado: spiegazione ed esercizi svolti / [Disequazioni](https://edurocket.it/category/educazione/scuole-superiori/matematica/disequazioni/) / Di [ Simone ](https://edurocket.it/author/edu_simone/ "Visualizza tutti gli articoli di Simone") Abbonati a 9,99€ al mese al posto di 14,99€ entro il ! [Clicca qui per approfittare dell'offerta! ](/mio-profilo/pagamento-iscrizione/?level=13) × Le **disequazioni di secondo grado** rappresentano un argomento fondamentale nello studio della matematica per la scuola superiore. Saperle risolvere è importante per **affrontare molti problemi**, in questo articolo ti insegnamo come utilizzarle. Se però **hai una verifica o vuoi imparare il più in fretta possibile**, puoi dare un’occhiata alla nostra selezione di [video sulle disequazioni di secondo grado](https://edurocket.it/crash-course-disequazioni-secondo-grado/)! In questo articolo andremo a vedere: - [ Cosa è una disequazione di secondo grado ](#CosaSono) - [ Come risolvere le disequazioni di secondo grado ](#ComeRisolvere) - [ Risoluzione con Delta maggiore di zero (Δ > 0) ](#maggioreZero) - [ Risoluzione con Delta uguale a zero (Δ = 0) ](#ugualeZero) - [ Risoluzione con Delta minore di zero (Δ < 0) ](#minoreZero) - [ Esercizi svolti ](#ese) - [ Recap finale ](#conclusioni) ## Cos'è una disequazione di secondo grado Prima di immergerci nelle tecniche risolutive, è importante definire cosa sia una disequazione di secondo grado. Una disequazione di questo tipo è una **disuguaglianza** in cui il **termine di grado massimo** è una variabile **elevata al quadrato** (x²) con coefficienti reali. La sua forma generale è: *ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c ≤ 0 ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c ≥ 0* dove *a, b* e *c* sono coefficienti reali ed *a ≠ 0*. L’**obiettivo** è trovare gli intervalli di valori per i quali la disequazione sia soddisfatta. Per raggiungere questo obiettivo, dobbiamo considerare il **valore del discriminante delta** (Δ) dell’equazione quadratica, che è dato dalla formula: ***Δ = b² – 4ac*** ## Come risolvere le disequazioni di secondo grado Dividiamo le tecniche risolutive per i tre casi principali **in base al valore di delta**: delta maggiore di zero, delta uguale a zero e delta minore di zero. Trattiamo le disequazioni come se fossero equazioni per **calcolare i valori degli intervalli** in cui la disequazione è soddisfatta. 1. Verifichiamo che il termine con x² sia positivo. se è negativo, rendiamolo positivo cambiando segno a tutti i termini della disequazione e invertendo il segno. 2. Calcoliamo il valore del discriminante Delta con la formula: ***Δ = b² – 4ac*** 3. Troviamo le radici dell’equazione quadratica utilizzando la formula: x₁ = (-b + √Δ) / (2a) x₂ = (-b – √Δ) / (2a) 4. Determiniamo gli intervalli di valori che possiamo assegnare ad X e che rendono la disequazione soddisfatta. Per fare ciò, osserviamo il segno della disequazione e quello del delta. A seconda di come si combinano, abbiamo differenti casistiche: le elenchiamo tutte di seguito. ### Delta maggiore di zero (Δ > 0) Quando delta è maggiore di zero, l’equazione ha **due soluzioni reali distinte**. Per determinare gli intervalli di x per i quali l’equazione sia soddisfatta, possiamo seguire questo schema: - (segno della disequazione) maggiore di zero: ***ax² + bx + c > 0*** - (soluzione) valori esterni: ***********x < x₁ unito x > x₂*********** - (segno della disequazione) minore di zero: ***ax² + bx + c < 0*** - (soluzione) valori interni: ***x₁ < x < x*** se nel segno della disequazione appare il termine maggiore-uguale (≥) oppure minore-uguale (≤) la regola non cambia. basta aggiungere il segno di uguaglianza al risultato determinato con le regole appena mostrate. #### Valori interni o esterni? la regola d’oro in questo caso è ricordarsi che se **Delta** è positivo ed il ***segno*** della disequazione è positivo, allora **i segni sono concordi**. Quindi non litigano, quindi nessuno va in prigione, quindi i valori stanno fuori: sono esterni. Viceversa, se Delta è positivo ed il segno è negativo, i valori sono discorsi, quindi litigano, quindi vanno in prigione e quindi i valori stanno dentro: sono interni. ### OH, BELLO STO ARTICOLO MA... Se ti dicessimo che puoi **studiare nella metà del tempo**? Se pensi che sarebbe bello avere più tempo libero e **meno ansie**, sei nel posto giusto! 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In questo caso, la disequazione può essere soddisfatta o per qualsiasi valore di x o da nessun valore assegnato ad x. - (segno della disequazione) maggiore di zero: ***ax² + bx + c > 0*** - (soluzione) tutti i valori di x: **∀*******x***** - (segno della disequazione) minore di zero: ***ax² + bx + c < 0*** - (soluzione) nessuna soluzione reale: ***∄ x*** se nel segno della disequazione appare il termine maggiore-uguale (≥) oppure minore-uguale (≤) la regola non cambia, basta seguire le regole appena mostrate per strettamente minore o maggiore. ## Disequazioni di secondo grado: esercizi svolti Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per consolidare la comprensione delle disequazioni di secondo grado. Questi esercizi ti aiuteranno a fissare una tecnica risolutiva step-by-step e a vedere con degli esempi quello che abbiamo visto finora a livello teorico. ### Esercizio 1 Risolvi la seguente disequazione: 2x² – 5x + 2 > 0. **Passaggio 1: Controlliamo il segno del termine quadratico:** 2x² è positivo, quindi non cambiamo di segno la disequazione. **Passaggio 2: Calcola il discriminante delta (Δ):** Δ = b² – 4ac = (-5)² – 4(2)(2) = 25 – 16 = Δ = 9 **Passaggio 3: Determina le soluzioni dell’equazione quadratica:** x₁ = (-b + √Δ) / (2a) = (-(-5) + √9) / (2(2)) = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = x₁ = 2 x₂ = (-b – √Δ) / (2a) = (-(5) – √9) / (2(2)) = (-5 – 3) / 4 = -8 / 4 = x₂ = -2 Le radici dell’equazione sono x₁ = 2 e x₂ = -2. **Passaggio 4: Determina gli intervalli di x in cui l’equazione è soddisfatta:** Osserviamo che il segno della disequazione è >0 ed anche Δ>0, quindi sono concordi. Prendiamo quindi i **valori esterni**, pertanto la **soluzione** della disequazione è: **x < -2 unito x > 2**. ### Esercizio 2 Risolvi la seguente disequazione: x² – 4x + 4 ≤ 0. **Passaggio 1: Controlliamo il segno del termine quadratico:** 1x² è positivo, quindi non cambiamo di segno la disequazione. **Passaggio 2: Calcola il discriminante delta (Δ):** Δ = b² – 4ac = (-4)² – 4(1)(4) = 16 – 16 = Δ = 0 **Passaggio 3: Determina le soluzioni dell’equazione quadratica:** x₁ = x₂ = -b / (2a) = -(-4) / (2(1)) = 4 / 2 = x = 2 Le radici dell’equazione sono x₁ = x₂ = 2. **Passaggio 4: Determina gli intervalli di x in cui l’equazione è soddisfatta:** Osserviamo che il segno della disequazione è ≤ 0 e Δ=0, quindi siamo nel caso in cui la disequazione è valida per il valore di x calcolato. La **soluzione** della disequazione è: **x = 2**. ### Esercizio 3 Risolvi la seguente disequazione: 3x² + 2x + 1 < 0. **Passaggio 1: Controlliamo il segno del termine quadratico:** 3x² è positivo, quindi non cambiamo di segno la disequazione. **Passaggio 2: Calcola il discriminante delta (Δ):** Δ = b² – 4ac = (2)² – 4(3)(1) = 4 – 12 = Δ = -8 **Passaggio 3: Determina le soluzioni dell’equazione quadratica:** Delta è minore di zero (Δ < 0), quindi l’equazione non ha soluzioni reali **Passaggio 4: Determina gli intervalli di x in cui l’equazione è soddisfatta:** Osserviamo che il segno della disequazione è < 0 e anche Δ<0, quindi siamo nel caso in cui non esiste nessuna soluzione che soddisfi la disequazione. La **soluzione** della disequazione è: **∄ x**. ## Conclusioni Le disequazioni di secondo grado rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. Con una comprensione delle tecniche risolutive per i diversi valori di delta, è possibile determinare gli intervalli di x per i quali le disequazioni sono soddisfatte. Tutto in maniera semplice ed efficace. è necessario ricordare bene le varie casistiche, ma praticando con vari esercizi ti verrà automatico ricordarle, dopo un po’ di tempo! ### PIÙ TEMPO LIBERO, MENO STUDIO! Spesso **studiare matematica** è stressante e richiede **un sacco di tempo**. Non ti racconteremo che con noi puoi “studiare divertendoti”, ma sicuramente puoi farlo **nella metà del tempo**. Sul nostro sito trovi **video da 5-10 minuti per ogni argomento**: prova a dare un’occhiata! [ SCOPRI COME! ](https://edurocket.it/landing-articoli/) #### Seguici sui social: nuovi video ogni giorno! 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