Scomposizione di polinomi

di Simone 16 Luglio 2022

Che cosa significa scomporre un polinomio? Qual è l’obiettivo della scomposizione? In questo articolo andiamo a rispondere a queste domande, vedendo nel frattempo tutti i metodi per scomporre un polinomio!

Scomporre polinomi

Il nostro obiettivo quando scomponiamo polinomi è molto semplice: scrivere un polinomio come prodotto di polinomi di grado più basso.

Il vantaggio consiste nel fatto che scomponendo un polinomio, esso diventa molto più facile da studiare (questo servirà principalmente negli anni successivi, ad esempio in geometria analitica e studi di funzione).

Vediamo ora la regola più base per scomporre i polinomi.

Scomporre polinomi: raccoglimento totale

Il raccoglimento totale consiste innanzitutto nell’identificare un fattore comune. Per spiegare meglio questo fatto vediamo un semplice esempio: consideriamo il polinomio

${2x^3-x^2+7x}$

Vediamo che tutti gli addendi di questo polinomio hanno in comune il fattore x

Quindi possiamo andare a “raccoglierlo”, ovvero andiamo a scrivere:

${2x^3-x^2+7x}={x\cdot(2x^2-x+7)}$

Abbiamo scritto il nostro polinomio iniziale come prodotto di polinomi di grado più basso!

In particolare, svolgendo il prodotto grazie alla proprietà distributiva, la scomposizione ottenuta coincide proprio con il polinomio di partenza

Vediamo un altro esempio:

$2a^2b^3-6a^3b^4+4ab^2$

Notiamo che tutti gli addendi hanno in comune il fattore 2, il fattore a (che compare in comune elevato alla prima) e il fattore b (che compare in comune elevato alla seconda). Quindi il fattore che andremo a raccogliere sarà 2ab²

Ovvero otteniamo

${2a^2b^3-6a^3b^4+4ab^2}={2ab^2\cdot(ab-3a^2b^2+2)}$

Scomporre polinomi: raccoglimento parziale

Passiamo ora ad una scomposizione meno intuitiva il raccoglimento parziale.

A che cosa serve? Spieghiamolo con un esempio:

$3x^3-6x^2+2x-4$

Possiamo considerare i primi due termini separatamente e raccogliere così il termine comune 3x²:

$3x^2\cdot(x-2)+2x-4$

Ora facciamo la stessa cosa con il terzo e quarto termine: raccogliamo il fattore comune, ovvero 2

$3x^2\cdot(x-2)+2\cdot(x-2)$

Perché stiamo facendo tutti questi passaggi apparentemente senza senso? Semplicemente perché ora abbiamo due termini in totale, ovvero

$3x^2\cdot(x-2)$

$2\cdot(x-2)$

che hanno ora un fattore in comune, cioè la parentesi (x – 2).

Quindi ora raccogliamo totalmente questo fattore e otteniamo la scomposizione desiderata:

${3x^2\cdot(x-2)+2\cdot(x-2)}={(x-2)\cdot(3x^2+2)}$

Quadrato di binomio

Passiamo ora ad un’altra tecnica per scomporre polinomi, ovvero il quadrato di binomio!

Con quadrato di binomio si intende semplicemente lo sviluppo della seguente espressione:

${a\pm{b}}=a^2\pm2ab+b^2$

In particolare, noi ora ci concentreremo nel passare dal trinomio a destra dell’uguale all’espressione a sinistra.

Vediamo un esempio:

$9x^2+12xy+4y^2$

Per capire se questo trinomio corrisponde al quadrato di un binomio dobbiamo cercare i seguenti elementi:

Due quadrati perfetti (nell’esempio 9x² e 4y² sono i quadrati rispettivamente di 3x e 2y)
Il doppio prodotto tra le radici dei quadrati perfetti (nell’esempio il prodotto tra e radici, ovvero il prodotto tra 3x e 2y, è 6xy. Il doppio prodotto sarà, quindi, 12xy, che è presente nel nostro trinomio)

Se queste due condizioni sono verificate, allora siamo in presenza di un quadrato perfetto.

Il segno in mezzo ai due termini, ovvero quello dato dal ±, corrisponde al segno del doppio prodotto. Dunque:

${9x^2+12xy+4y^2}={(3x+2y)^2$

Quadrato di trinomio

Un altro modo per scomporre polinomi è il quadrato di trinomio. Con ciò intendiamo semplicemente lo sviluppo della seguente espressione:

${(a+b+c)^2}={a^2+b^2+c^2+2ab+2bc}$

Nota bene: a, b e c possono anche essere negativi, e quindi anche i doppi prodotti possono variare di segno in base al segno dei coefficienti iniziali.

Vediamo un esempio:

$x^2+9y^2+4z^2-6xy-12yz+4xy$

Il metodo è analogo a quello visto nel quadrato di binomio.

Identifichiamo tre quadrati perfetti (nell’esempio sono x², 9y² e 4z²)

Consideriamo le radici di questi tre numeri:

x 3y 2z

Ora l’ultima cosa da fare è capire i segni di questi numeri; dopo di che avremo finito!

I segni ce li danno i doppi prodotti: notiamo che il doppio prodotto tra x e 3y è 6xy. Nel nostro polinomio compare con un segno meno, dunque solo uno tra x e 3y avrà il segno meno.

Procediamo ora con il doppio prodotto tra 3y e 2z, ovvero 12yz: dato che nell’esempio compare anch’esso con il segno meno, allora uno solo tra 3y e 2z avrà il segno negativo.

In questo caso allora sarà 3y ad essere negativo, mentre x e 2z avranno il segno positivo.

Verifichiamo anche per l’ultimo doppio prodotto, ovvero quello tra x e 2z: effettivamente 4xz appare con il segno più, come avevamo previsto.

Dunque, la scomposizione cercata sarà:

${x^2+9y^2+4z^2-6xy-12yz+4xy}={(x-3y+2z)^2$

Cubo del binomio

Un procedimento alternativo per scomporre dei polinomi è il cubo di binomio. Vogliamo utilizzare lo sviluppo del cubo di binomio per svolgere questa scomposizione, ovvero:

${(a+b)^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$

Nota bene: come nel caso del quadrato di trinomio, sia a che b possono essere positivi o negativi. Quindi attenti ai segni!

Andiamo a vedere un esempio:

$x^3-6x^2+12x-8$

Similarmente ai casi precedenti, andiamo a trovare i due cubi perfetti (attenzione: a differenza dei quadrati, questi possono avere anche un segno negativo).

Notiamo che x³ e 8 sono effettivamente i cubi di, rispettivamente, x e 2.

Andiamo a vedere se gli altri termini che compaiono nel nostro polinomio corrispondono a quelli dello sviluppo del cubo di binomio

3a²b:

${3\cdot{(x)^2}\cdot(2)}=6x^2$

Nel polinomio questo termine appare con un segno negativo; dunque il termine non elevato al quadrato avrà un segno negativo, cioè il 2.

Andiamo a verificare che anche l’altro e ultimo termine coincida con lo sviluppo del cubo

3ab²:

${3\cdot(x)\cdot{2^2}}=12x$

Nel polinomio questo termine appare con un segno positivo; dunque, il termine non elevato al quadrato, cioè la x, avrà un segno positivo.

Abbiamo terminato: abbiamo trovato che la x avrà segno + e il 2 avrà segno –

${x^3-6x^2+12x-8}={(x-2)^2}$

Differenza di quadrati

Andiamo ora a vedere come lavorare quando abbiamo una sottrazione tra due quadrati perfetti.

Questa sottrazione si scompone nella cosiddetta “somma per differenza”, ovvero:

${a^2-b^2}={(a+b)\cdot(a-b)}$

Vediamo ora un semplice esempio:

$x^4-25$

Prima di tutto identifichiamo i due quadrati perfetti, ovvero x⁴ e 25, le cui radici sono rispettivamente x² e 5.

Fatto questo abbiamo finito! La scomposizione cercata è la seguente:

${x^4-25}={(x^2+5)\cdot(x^2-5)}$

ATTENZIONE: solo la differenza di quadrati è scomponibile. La somma di quadrati NON si può scomporre, ovvero

$a^2+b^2$

NON è scomponibile!!

Trinomio speciale

Vogliamo scomporre un trinomio del tipo

$x^2+ax+b$

Per farlo applichiamo una “filastrocca”:

regola somma-prodotto, il primo è la somma e il secondo è il prodotto

Vediamo un esempio e andiamo bene a spiegare questa regola.

$x^2+2x-15$

Vogliamo ora trovare due numeri, che chiameremo x₁ e x₂, tali per cui la loro somma sia uguale al coefficiente della x (ovvero a 2) e il loro prodotto sia uguale al termine noto (ovvero a -15).

Andiamo a considerare tutti i prodotti con cui possiamo ottenere 15: possiamo ottenerlo come

$1\cdot{15}$

$3\cdot{5}$

In questo caso il 15 è negativo, quindi uno tra i due fattori dovrà avere il segno meno.

Una volta fatto questo andiamo a considerare l’altro coefficiente, ovvero il 2: questo corrisponde alla somma dei due numeri che stiamo cercando. Gli unici due numeri che funzionano sono -3 e 5: infatti

${(-3)\cdot(5)}=-15$