Regola di Ruffini - EduRocket

di Simone 30 Luglio 2022

In questo articolo andiamo ad affrontare uno dei metodi di scomposizione di polinomi più odiati in assoluto: la regola di Ruffini.

Scomposizione di polinomi con il metodo di Ruffini

Vediamo un esempio, con cui andremo a spiegare il metodo di Ruffini. Vogliamo scomporre il seguente polinomio:

${3x^4-6x^3-7x^2+19x-10}$

Metodo di Ruffini – cosa si deve fare

Prima di tutto andiamo a prendere tutti i possibili divisori del termine noto del nostro polinomio: nell’esempio è -10. Tutti i divisori di -10 sono:

$\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$

Ora facciamo la stessa cosa con il coefficiente direttivo, ovvero il coefficiente della potenza massima della x (nell’esempio è 3). Essi sono:

$\pm1, \pm3$

Ora consideriamo tutte le possibili frazioni tra i divisori del termine noto e i divisori del coefficiente direttivo. Nella pratica cosa facciamo? Prendiamo tutti i numeri

$\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$

e li dividiamo per ±1 (uno dei divisori del coefficiente direttivo). Così facendo otteniamo

${{\pm1}\over{\pm1}}, {{\pm2}\over{\pm1}}, {{\pm5}\over{\pm1}}, {{\pm10}\over{\pm1}}$

ovvero

$\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$

Ora facciamo la stessa cosa per gli altri divisori del coefficiente direttivo (nel nostro esempio con ±3)

Quindi prendiamo gli stessi numeri di prima e li dividiamo tutti per ±3: otteniamo

$\pm{1\over3}, \pm{2\over3}, \pm{5\over3}, \pm{10\over3}$

Ora mettiamo insieme tutti i numeri ottenuti:

$\pm1, \pm2, \pm5, \pm10, \pm{1\over3}, \pm{2\over3}, \pm{5\over3}, \pm{10\over3}$

Una volta ottenuti tutti questi numeri, l’unica cosa che dobbiamo fare è prenderli uno ad uno e sostituirli nel polinomio che dobbiamo scomporre con il metodo di Ruffini. Vogliamo trovare quale tra questi numeri annulla il nostro polinomio, ovvero quale tra questi numeri, sostituito al posto della x, ci restituisce 0.

Proviamo i vari numeri:

${3\cdot(+1)^4-6\cdot(+1)^3-7\cdot(+1)^2+19\cdot(+1)-10} = -1 \neq 0$

– 1

${3\cdot(-1)^4-6\cdot(-1)^3-7\cdot(-1)^2+19\cdot(-1)-10} = -31 \neq 0$

${3\cdot(+2)^4-6\cdot(+2)^3-7\cdot(+2)^2+19\cdot(+2)-10} = 0$

Abbiamo trovato il nostro numero, ovvero il +2.

Regola di Ruffini – schema

Ora inizia il vero metodo di Ruffini; andiamo a impostare uno schema di questo tipo:

dove sopra ci sono i coefficienti del nostro polinomio ( 3, -6, -7, +19, -10 ) e a sinistra c’è il numero che annulla il polinomio stesso ( +2 ).

Ora il primo coefficiente, ovvero il 3, lo riscriviamo sotto alla linea orizzontale senza modifiche, in questo modo:

Ora il procedimento è il seguente: prendiamo il numero sotto la riga orizzontale, lo moltiplichiamo per il numero fissato a sinistra e scriviamo il risultato nella colonna successiva sopra la riga.

Nel nostro esempio quindi prendiamo il 3, lo moltiplichiamo per il numero fissato a sinistra, quindi il +2, e scriviamo il risultato, ovvero +6, nella colonna a destra, in questo modo:

Ora operiamo sulla colonna successiva: sommiamo in colonna i numeri che troviamo. Nell’esempio sommiamo il coefficiente del polinomio, cioè -6, e il numero che abbiamo appena calcolato, cioè +6. Il numero che otteniamo, ovvero 0, lo scriviamo sotto la riga nella stessa colonna.

Il procedimento ora è sempre lo stesso! Quindi ora prendiamo l’ultimo numero che abbiamo sotto la riga orizzontale, quindi lo 0, lo moltiplichiamo per il numero fissato +2, ottenendo così 0

Sommiamo ora in colonna il coefficiente -7 e il numero appena ottenuto 0 e otteniamo ancora -7

Ora moltiplichiamo il -7 appena ottenuto per il numero fissato +2 e otteniamo -14; sommiamo in colonna il coefficiente 19 e -14, ottenendo così 5

Ultimo passaggio: prendiamo il 5, lo moltiplichiamo per il numero fissato +2, ottenendo così +10

Sommiamo in colonna il coefficiente -10 e il +10 e otteniamo 0 (nello schema indicato con //)

Ora abbiamo finito! I coefficienti scritti in rosso che abbiamo trovato sono i coefficienti di un polinomio con grado ribassato di 1. In questo caso partivamo da un polinomio di grado 4, quindi otteniamo un polinomio di grado 3:

${3x^3+0x^2-7x+5}$