Prodotti notevoli: spiegazione ed esercizi svolti

/ Matematica / Di Simone

I prodotti notevoli sono uno degli argomenti fondamentali per le scuole superiori. Nel particolare i prodotti notevoli sono espressioni algebriche che seguono regole specifiche durante il processo di moltiplicazione o elevazione a potenza. In sostanza, sono strumenti matematici progettati per facilitare la risoluzione di problemi algebrici come espressioni, offrendo formule standardizzate che semplificano i calcoli. Sono anche molto utilizzati nella scomposizione dei polinomi.

In questo articolo andremo a vedere:

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A cosa servono i prodotti notevoli?

I prodotti notevoli sono come formule speciali in algebra che ci aiutano a semplificare calcoli complicati più velocemente. Immagina che stai facendo matematica e incontri espressioni difficili con lettere e numeri. I prodotti notevoli rendono più facile gestire queste espressioni complesse.

In pratica, servono per:

Risparmiare Tempo nei Calcoli: Quando devi moltiplicare espressioni particolari, i prodotti notevoli ti permettono di fare i calcoli più rapidamente senza dover scrivere ogni singolo passo.
Organizzare le Operazioni: Ti danno una struttura ordinata da seguire quando incontri certi tipi di moltiplicazioni. Questo rende tutto meno confuso e più facile da capire.
Semplificare le Equazioni: Quando hai equazioni complesse, i prodotti notevoli ti danno un modo più semplice per risolverle.

Insomma, sono un po’ come delle scorciatoie matematiche che ci aiutano a risolvere problemi più velocemente e in modo più ordinato!

L'elenco dei prodotti notevoli

Prodotto della Somma per la Differenza (differenza di quadrati)

(a+b) (a−b) = (a²−b²)

Quadrato di un binomio

$(a + b)^{2 = a 2 + 2 ab + b 2}$

$(a- b)^{2 = a 2 - 2 ab + b 2}$

Cubo di binomio

$(a+ b)^{3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3}$

$(a- b)^{3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3}$

Quadrato di binomio

$(a+ b+c)^{2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc}$

Somma e differenza di due cubi

a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²)

a³–b³=(a–b)(a²+ab+b²)

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Utilizzo dei prodotti notevoli nella scomposizione dei polinomi

I prodotti notevoli giocano un ruolo fondamentale nella scomposizione di polinomi (anche detta fattorizzazione). Questi strumenti forniscono formule predefinite che permettono di manipolare polinomi in modo ordinato, allo scopo di riscriverli come prodotti di polinomi di grado inferiore al primo.

Consideriamo l’applicazione dei prodotti notevoli per semplificare un polinomio complesso come x³+27.

Utilizziamo la formula della somma di due cubi:

$(a+ b)^{3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3}$

Nel nostro caso, x³+27 può essere visto come x³+3³, dove $a = x$ e $b = 3$ .

Applichiamo la formula:

$x^{3} + 27 = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$

Quindi, $x^{3} + 27$ può essere completamente fattorizzato come $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$ .

Questa è una forma semplificata del polinomio, e la capacità di riconoscere e applicare i prodotti notevoli rende il processo di scomposizione più efficiente.

Utilizzo dei prodotti notevoli nello sviluppo di espressioni con polinomi

Un altro tipico esempio di utilizzo dei prodotti notevoli è quello del loro impiego nello sviluppo dei polinomi.

Immaginiamo di incontrare questa espressione da sviluppare:

$(y -3)^{2}$ +1

Applicando la formula del quadrato di binomio a $(y -3)^{2}$ otteniamo:

$(y -3)^{2}$ =y $^{2}$ −6y+9

cui andiamo aggiungere “+1” e otteniamo come risultato:

$(y -3)^{2}$ +1 = y $^{2}$ −6y+10

In questo caso, il risultato è ottenuto direttamente applicando la formula del quadrato di un binomio, senza la necessità di ulteriori passaggi. Questo mostra come in alcuni casi specifici, possiamo semplificare i calcoli utilizzando direttamente i prodotti notevoli più appropriati.

Adesso fermati un attimo.

Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
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Prodotti notevoli: esercizi svolti

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti sui prodotti notevoli: questi esercizi ti aiuteranno a fissare una tecnica risolutiva step-by-step e ad esemplificare quello che abbiamo visto finora a livello teorico.

Esercizio 1

Risolvi la seguente espressione:

(x+4) (x-4) + (3x-1) (3x+1) .

Passaggio 1) applichiamo il prodotto notevole somma per differenza al primo termine della somma:

(x+4) (x-4) = x $^{2}$ −4 $^{2}$ = x $^{2}$ −16

Passaggio 2) applichiamo il prodotto notevole somma per differenza al secondo termine della somma:

(3x-1) (3x+1) = (3x) $^{2}$ −1 $^{2}$ = 9x $^{2}$ −1

Passaggio 3) mettiamo assieme i risultati ottenuti sostituendoli a quelli iniziali e sommandoli:

x $^{2}$ −16 + 9x $^{2}$ −1

Passaggio 4) raggruppiamo a questo punto i termini simili e sommiamoli:

x $^{2}$ −16 + 9x $^{2}$ −1 = x $^{2}$ + 9x $^{2}$ −1 −16 = 10x $^{2}$ −17

Quindi, la soluzione è 10x $^{2}$ −17. In questo caso, abbiamo sviluppato l’espressione considerando la somma di due prodotti notevoli.

Esercizio 2

Risolvi la seguente espressione:

(x-2) $^{2}$ – (2x+1) $^{3}$ .

Passaggio 1) applichiamo il prodotto notevole quadrato di binomio al primo termine della somma algebrica:

(x-2) $^{2}$ = x $^{2}$ −2⋅x⋅2+2 $^{2}$ = x $^{2}$ −4x+4

Passaggio 2) applichiamo il prodotto notevole somma per differenza al secondo termine della somma:
(2x+1) $^{3}$ = 3⋅(2x) −3⋅(2x)⋅2⋅1−3⋅2x⋅12−13 = 8x $3$ −12x $2$ −6x−1

Passaggio 3) mettiamo assieme i risultati ottenuti sostituendoli a quelli iniziali e sommandoli algebricamente:
(x-2) $^{2}$ – (2x+1) $^{3}$ = (x $^{2}$ −4x+4) – (8x $3$ −12x $2$ −6x−1)

Passaggio 4) raggruppiamo a questo punto i termini simili e sommiamoli:
x $^{2}$ −4x+4−8x $^{2}$ +12x $^{2}$ +6x+1 = −8x $^{3}$ +13x $^{2}$ +2x+5

Quindi, la soluzione è −8x $^{3}$ +13x $^{2}$ +2x+5.

Conclusioni

In conclusione, l’utilizzo dei prodotti notevoli si rivela fondamentale nell’affrontare polinomi complessi, permettendo una semplificazione efficiente delle espressioni algebriche.

La conoscenza di formule come il quadrato e il cubo di binomi, così come la somma e la differenza tra essi, offre un valido strumento per risolvere equazioni e scomporre polinomi in modo ordinato.

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