Limiti notevoli: spiegazione ed esercizi svolti

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Che tu sia in università a studiare per Analisi 1 o al liceo per la Maturità i Limiti Notevoli sono una tappa fondamentale nel percorso dell’analisi matematica. 

Questi limiti, conosciuti anche come limiti fondamentali, costituiscono un pilastro essenziale per la comprensione approfondita del calcolo differenziale e integrale. 

In questo articolo andremo a vedere:

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Cosa sono e a cosa servono i limiti notevoli?

I limiti notevoli sono regole che semplificano il calcolo di limiti per alcune funzioni che si trovano spesso. Sono quindi delle formule che  ci consentono di valutare rapidamente il comportamento delle funzioni in situazioni ripetitive, fornendo una strada più veloce per svolgere i calcoli.

A cosa servono i limiti notevoli?

Oltre a semplificare i calcoli, i limiti notevoli giocano un ruolo cruciale nella comprensione delle proprietà delle funzioni. Immagina di dover valutare la velocità istantanea di un oggetto in movimento o di determinare il punto in cui una funzione raggiunge un massimo o un minimo. I limiti notevoli rendono queste operazioni meno laboriose, consentendoti di applicare regole veloci anziché ricorrere a complicati processi di calcolo.

L'elenco dei limiti notevoli

Limite della funzione seno (sin):
lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1
Limite della funzione coseno (cos):
lim⁡x→0cos⁡(x)−1x=0\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x} = 0
lim⁡x→01−cos⁡(x)x2=12\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}
Limite della funzione tangente:
lim⁡x→0tan⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1
Limite della funzione arcsin:
lim⁡x→0arcsin⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x)}{x} = 1
Limite della funzione arctan:
lim⁡x→0arctan⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\arctan(x)}{x} = 1
Limite della funzione esponenziale:
lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e
lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e
lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1
lim⁡x→0ax−1x=ln⁡(a)\lim_{x \to 0} \frac{a^x – 1}{x} = \ln(a)
Limite della funzione logaritmo:
lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1
lim⁡x→0log⁡a(1+x)x=1ln⁡(a)\lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \frac{1}{\ln(a)}
Altri limiti notevoli:
lim⁡x→0(1+x)α−1x=α\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^\alpha – 1}{x} = \alpha
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Limiti notevoli: esercizi svolti

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti sui limiti notevoli: questi esercizi ti aiuteranno a fissare una tecnica risolutiva step-by-step e ad esemplificare quello che abbiamo visto finora a livello teorico.

Esercizio 1

Calcola il limite seguente utilizzando i limiti notevoli:

lim⁡x→0ex−1−xx\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x}

Passaggio 1) Per risolvere questo limite, possiamo scomporre l’espressione in due termini, separando il -x fratto x, che si semplifica:

=lim⁡x→0(ex−1x−xx)−lim⁡x→01= \lim_{{x \to 0}} \left( \frac{{e^x – 1}}{{x}} – \frac{x}{x} \right) – \lim_{{x \to 0}} 1
=lim⁡x→0ex−1x−lim⁡x→01= \lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x – 1}}{{x}} – \lim_{{x \to 0}} 1

Passaggio 2) Ora notiamo che abbiamo al primo termine il limite notevole:

lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1

Possiamo dunque sostituire 1 al primo termine, mentre il secondo termine fa 1. Otteniamo dunque:

= 1 – 1

Passaggio 3) Dunque concludiamo come risultato 0 .

Esercizio 2

Calcola il limite seguente utilizzando i limiti notevoli:

lim⁡x→0sin⁡(x)x(1+cos⁡(x))\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x(1 + \cos(x))}

Passaggio 1) Per risolvere questo limite,  sia il numeratore che il denominatore per x:

=lim⁡x→0sin⁡(x)x1+cos⁡(x)= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(x)}{x}}{1 + \cos(x)}

Passaggio 2) Riconosciamo ora al numeratore il limite notevole del seno:

lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1

Passaggio 3) Lo applichiamo al numeratore e otteniamo:

=lim⁡x→011+cos⁡(x)= \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \cos(x)}

Passaggio 4) sostituiamo ora 0 e dato che cos(0) = 1 abbiamo:

=11+cos⁡(0)=12= \frac{1}{1 + \cos(0)} = \frac{1}{2}

Conclusioni

In conclusione, i limiti notevoli sono formule che sbloccano calcoli molto più complicati, rendendo più veloce la risoluzione di esercizi.

La loro comprensione profonda non solo semplifica le operazioni quotidiane con le funzioni, ma apre le porte a un mondo di applicazioni e scoperte matematiche.

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