Logaritmi: spiegazione ed esercizi svolti                                                                             [ Vai al contenuto](#content)  [![edurocket: intelligenza artificiale per studenti](https://edurocket.it/wp-content/uploads/2025/02/cropped-cropped-WebSite_Logo_Header_AI-04-265x68.png)](https://edurocket.it/)

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     # Logaritmi: spiegazione ed esercizi svolti

 / [Logaritmi](https://edurocket.it/category/educazione/scuole-superiori/matematica/logaritmi/) / Di  [  Nadir  ](https://edurocket.it/author/schoolfix_admin/ "Visualizza tutti gli articoli di Nadir")

  I logaritmi sono uno strumento fondamentale nella matematica, utilizzati per **risolvere equazioni**, semplificare calcoli e **modellare fenomeni complessi**. In questo articolo, esploreremo cosa sono i logaritmi e le proprietà fondamentali che li caratterizzano.

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 In questo articolo andremo a vedere:

- [    Cosa sono i logaritmi? ](#CosaSono)
- [    Le proprietà dei logaritmi ](#proprietalog)
- [    Esercizi svolti ](#utilizzo)

## Cosa sono i logaritmi?

I logaritmi sono uno strumento matematico, in particolare, il logaritmo di un numero in una data base è l’esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso.

Nel particolare, il logaritmo base *a* di un numero *b* è indicato come:

 log⁡ab\\log\_a bloga​b

e rappresenta l’esponente al quale dobbiamo elevare la base �a per ottenere �b. In altre parole deve valere la seguente relazione:

 se ax=ba^x = bax=b, allora log⁡ab=x\\log\_a b = xloga​b=x

- **a** è detta **base** del logaritmo
- **b** è l’argomento del logaritmo

Un veloce esempio è il seguente:

 log⁡28=3\\log\_2 8 = 3log2​8=3 perché 23=82^3 = 823=8

**RICORDA che le condizioni di esistenza dei logaritmi, richiedono che:**

- **b > 0, ossia l’argomento strettamente maggiore di 0**
- **a > 0 e a ≠ 1**

#### Relazione con gli esponenziali

I logaritmi e le equazioni esponenziali sono strettamente collegati, **i logaritmi infatti sono l’operazione inversa delle potenze**.

 ax=ba^x = bax=b allora log⁡ab=x\\log\_a b = xloga​b=x e viceversa

#### A cosa servono i logaritmi?

I logaritmi sono strumenti matematici essenziali con diverse applicazioni. Essi risolvono equazioni esponenziali, stimano crescita e decadimento, analizzano la **complessità degli algoritmi** **informatici** e compaiono in **leggi scientifiche**.

 **In finanza**, sono usati per calcolare il rendimento e in geometria analitica per risolvere problemi di spazio a più dimensioni. I grafici logaritmici aiutano a visualizzare dati su scale ampie, e i logaritmi sono cruciali per il calcolo della **probabilità in statistica**.

### [Le proprietà dei logaritmi](#ElencoProdottiNotevoli)

  ##### Proprietà logaritmo del prodotto

 log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\\log\_a (xy) = \\log\_a x + \\log\_a yloga​(xy)=loga​x+loga​y

Fai attenzione che il prodotto degli argomenti si traduce come somma dei logaritmi e non come moltiplicazione!
Ad esempio:

 log⁡2(4⋅8)=log⁡24+log⁡28=2+3=5\\log\_2 (4 \\cdot 8) = \\log\_2 4 + \\log\_2 8 = 2 + 3 = 5log2​(4⋅8)=log2​4+log2​8=2+3=5

##### Proprietà logaritmo del quoziente

 log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay\\log\_a \\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log\_a x – \\log\_a yloga​(yx​)=loga​x−loga​y

Anche in questo caso fai attenzione a non fare il quoziente, ma la sottrazione frai logaritmi. Ad esempio:

 log⁡3(279)=log⁡327−log⁡39=3−2=1\\log\_3 \\left(\\frac{27}{9}\\right) = \\log\_3 27 – \\log\_3 9 = 3 – 2 = 1log3​(927​)=log3​27−log3​9=3−2=1

##### Proprietà della potenza

 log⁡axn=n⋅log⁡ax\\log\_a x^n = n \\cdot \\log\_a xloga​xn=n⋅loga​x

La proprietà della potenza , consente di portare davanti al logaritmo l’esponente dell’argomento. Ad esempio:

 log⁡5(24)=4⋅log⁡52=4⋅0.4307≈1.7228\\log\_5 (2^4) = 4 \\cdot \\log\_5 2 = 4 \\cdot 0.4307 \\approx 1.7228log5​(24)=4⋅log5​2

##### Cambiamento di base

 log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\\log\_a b = \\frac{\\log\_c b}{\\log\_c a}loga​b=logc​alogc​b​

Proviamo a portare il tutto in base 2:

 log⁡48=log⁡28log⁡24\\log\_4 8 = \\frac{\\log\_2 8}{\\log\_2 4}log4​8=log2​4log2​8​

Ora calcoliamo ciascun logaritmo al numeratore e denominatore

 log⁡28=3\\log\_2 8 = 3log2​8=3
log⁡24=2\\log\_2 4 = 2log2​4=2

Otteniamo dunque sostituendo questo risultato:

 log⁡28log⁡24=32\\frac{\\log\_2 8}{\\log\_2 4} = \\frac{3}{2}log2​4log2​8​=23​

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## Logaritmi: esercizi svolti

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti sui logaritmi: questi esercizi ti aiuteranno a fissare una tecnica risolutiva step-by-step e ad esemplificare quello che abbiamo visto finora a livello teorico.

### Esercizio 1

Risolvi la seguente espressione:

 log⁡3(x+2)+log⁡3(x−1)=2\\log\_3 (x + 2) + \\log\_3 (x – 1) = 2log3​(x+2)+log3​(x−1)=2

**Passaggio 1) Calcoliamo innanzitutto le condizioni di esistenza che per i logaritmi significa mettere la base > 0 (STRETTAMENTE!)

poniamo dunque:

- (x+2) > 0 => x > -2
- (x-1) > 0 = x > 1

Otteniamo dunque come CE della equazione: **x > 1**

**Passaggio 2) Utilizziamo la proprietà del prodotto dei logaritmi, che ci permette di combinare due logaritmi con la stessa base in un unico logaritmo:

 log⁡3(x+2)(x−1)=2\\log\_3 (x + 2)(x – 1) = 2log3​(x+2)(x−1)=2

**Passaggio 3) Ora applichiamo il legame che abbiamo visto prima con l’esponenziale, cioè:

 log⁡ab=x\\log\_a b = xloga​b=x, quindi ax=ba^x = bax=b

**nel nostro caso la base a = 3, la andiamo dunque a elevare alla x che nel nostro caso è 2 e poniamo tutto uguale all’argomento del logaritmo b che nel nostro caso è (x+2)(x-1)

 32 = (x+2)(x−1)

**Passaggio 4) Ora risolviamo l’equazione come una normale equazione di secondo grado

 x2+x−2=9x^2 + x – 2 = 9x2+x−2=9

 x2+x−11=0x^2 + x – 11 = 0x2+x−11=0

Applichiamo la formula quadratica: x=−b±b2−4ac2ax = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​x=−1±1+4⋅112, e otteniamo: x = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{1 + 4 \\cdot 11}}{2}x=2−1±1+4⋅11​​x=−1±452x = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{45}}{2}x=2−1±45​​

Delle due soluzioni, l’unica soluzione valida per le CE (x > 1) è:

 x=−1+452x = \\frac{-1 + \\sqrt{45}}{2}x=2−1+45​​

**Il trucco per le equazioni con il logaritmo è dunque quello di cercare di ricondursi a una forma con il log a sinistra e un termine noto a destra, per applicare la relazione con le esponenziali in modo da rimuovere il logaritmo. Fatto questo è sufficiente procedere con i calcoli e verificare i risultati con le CE.

### Esercizio 2

Risolvi la seguente equazione:

 log⁡4(3x2)−13log⁡4(x)=1\\log\_4(3x^2) – \\frac{1}{3}\\log\_4(x) = 1log4​(3x2)−31​log4​(x)=1

**Passaggio 1) Innanzitutto calcoliamo le CE, in questo caso è sufficiente imporre x > 0

**Passaggio 2) Utilizziamo la proprietà del prodotto e poi della potenza del logaritmo per semplificare il primo termine:

 log⁡4(3x2)=log⁡4(3)+2log⁡4(x)\\log\_4(3x^2) = \\log\_4(3) + 2\\log\_4(x)log4​(3x2)=log4​(3)+2log4​(x)

**Passaggio 3) Sostituendo la semplificazione nella nostra equazione iniziale, otteniamo:

 log⁡4(3)+2log⁡4(x)−13log⁡4(x)=1\\log\_4(3) + 2\\log\_4(x) – \\frac{1}{3}\\log\_4(x) = 1log4​(3)+2log4​(x)−31​log4​(x)=1

**Passaggio 4) Sommiamo i logaritmi simili:

 log⁡4(3)+53log⁡4(x)=1\\log\_4(3) + \\frac{5}{3}\\log\_4(x) = 1log4​(3)+35​log4​(x)=1

**Passaggio 5) Portiamo ora tutti i termini con x a sinistra e quelli noti a destra:

 53log⁡4(x)=1−log⁡4(3)\\frac{5}{3}\\log\_4(x) = 1 – \\log\_4(3)35​log4​(x)=1−log4​(3)

**Passaggio 6) Dividiamo per 5/3:

 log⁡4(x)=35(1−log⁡4(3))\\log\_4(x) = \\frac{3}{5}(1 – \\log\_4(3))log4​(x)=53​(1−log4​(3))

**Passaggio 7) Ora applichiamo la relazione fra logaritmi e esponenziali:

 x=435(1−log⁡4(3))x = 4^{\\frac{3}{5}(1 – \\log\_4(3))}x=453​(1−log4​(3))

**Dato che è maggiore di 0, risponde alle condizioni di esistenza. Dunque questa è la nostra soluzione.

## Conclusioni

In chiusura, abbiamo attraversato i concetti fondamentali dei logaritmi, scoprendo la loro essenziale utilità nella risoluzione di equazioni e nella manipolazione di espressioni. La proprietà della potenza, il cambio di base e l’applicazione pratica ci hanno fornito gli strumenti per affrontare sfide matematiche in modo più efficace.

Il logaritmo è un alleato fondamentale per i tuoi studi sia che tu sia in liceo o in università, troverai spesso questo concetto per descrivere l’andamento di funzioni o studiare la fisica.

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