Equazioni logaritmiche

Le equazioni logaritmiche rappresentano un argomento cruciale nello studio della matematica per la scuola superiore e oltre. Saperle risolvere è essenziale per affrontare vari problemi matematici e applicazioni scientifiche.

In questo articolo andremo a vedere:

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Cos'è un'equazione logaritmica

Un’equazione logaritmica è un’equazione che coinvolge logaritmi di espressioni algebriche e l’incognita compare come argomento o base di uno o più logaritmi. La forma generale di un’equazione logaritmica è:

$\log_b(f(x)) = g(x)$

dove $b$ è la base del logaritmo, $f (x)$ è l’argomento del logaritmo, e $g (x)$ è una funzione.

L’obiettivo è trovare i valori di $x$ che soddisfano l’equazione. Per risolvere le equazioni logaritmiche, è necessario conoscere le proprietà dei logaritmi e saperle applicare correttamente.

Come risolvere le equazioni logaritmiche

Per risolvere le equazioni logaritmiche, esistono diverse tecniche, ti consigliamo tuttavia di seguire questi passaggi:

Calcola le CE: Come sempre devi trovare le condizioni di esistenza. L’argomento del logaritmo deve essere posto > 0. Se le x compaiono alla base, va posta una condizione di esistenza per imporre la base >0 e ≠ 1.
Isola il logaritmo: Se non è già in forma elementare, cerca di isolare il logaritmo su un lato dell’equazione, utilizzando le proprietà dei logaritmi. In alcuni casi viene usato anche il metodo di sostituzione che consente di semplificare l’espressione laddove il logaritmo ha la stessa base e stesso argomento. Trovi un esempio in fondo all’articolo!
Eleva entrambi i termini : Applica l’esponenziale per elevare entrambi i lati in modo da eliminare il logaritmo.
Risolvi l’equazione risultante: Risolvi l’equazione risultante che ora non contiene più logaritmi.
Verifica le soluzioni: Assicurati che le soluzioni trovate siano valide nel contesto originale dell’equazione logaritmica.

Risoluzione di equazioni logaritmiche con base comune

Se l’equazione ha logaritmi con la stessa base, sei già avanti. Puoi usare le proprietà dei logaritmi per semplificare l’equazione.

In questo modo

$\log_b(f(x)) = \log_b(g(x))$

Questo per le proprietà dei logaritmi implica che :

f(x)=g(x)

Quindi se ad esempio hai:

$\log_3(x + 2) = \log_3(5)$

puoi rimuovere il logaritmo ottenendo:

$\log_3(x + 2) = \log_3(5) \implies x + 2 = 5$

Questo caso, in cui è sufficiente andare a eguagliare i termini, prende il nome di equazione logaritmica elementare.

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Risoluzione di equazioni logaritmiche con basi diverse

Se l’equazione ha logaritmi con basi diverse, è sempre buona norma cercare di portarsi al caso di basi comuni. Puoi usare il cambio di base per rendere le basi uguali. La formula del cambio di base è:

$\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$

Adesso fermati un attimo.

Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
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Equazioni logaritmiche esercizi

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per consolidare la comprensione delle equazioni logaritmiche. Questi esercizi ti aiuteranno a fissare una tecnica risolutiva step-by-step e a vedere con degli esempi quello che abbiamo visto finora a livello teorico.

Esercizio 1

Risolvi la seguente equazione logaritmica:

$\log_5(x) + \log_5(x – 4) = 2$

Passaggio 1: Applica le condizioni di esistenza. In questo caso hai due argomenti, dunque le C.E. sono x > 0 e x > 4, dunque x > 4.

Passaggio 2: Come visto prima devi isolare il logaritmico. In questo caso è molto semplice l’algoritmo è già isolato. Tuttavia puoi usare le proprietà dei logaritmi per sommarli fra loro e ottenere un solo logaritmo. Dato che la somma di logaritmi e il logaritmo della moltiplicazione degli argomenti otteniamo:

$\log_5(x(x – 4)) = 2$

Passaggio 3: Eleviamo a potenza! In questo modo rimuoviamo il logaritmo. Ricorda di applicarla su entrambi i lati:

$5^{\log_5(x(x – 4))} = 5^2$

Passaggio 4: Ora non ci resta che risolvere l’equazione

x(x – 4) = 25

x^2 – 4x – 25 = 0

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 100}}{2}

x = \frac{4 \pm \sqrt{116}}{2}

x = \frac{4 \pm 2\sqrt{29}}{2}

x = 2 \pm \sqrt{29}

Passaggio 5: Mi raccomando, ricordati questo passaggio! Dobbiamo verificare che le soluzioni soddisfino le CE.

La soluzione accettabile è

x = 2 + \sqrt{29}

, poiché

x = 2 – \sqrt{29}

non soddisfa la condizione x > 4

Esercizio 2

Vediamo ora un altro esempio in cui applichiamo però il metodo di sostituzione:

$-\log^2_2(x+2) – 3\log_2(x+2) – 1 = 0$

Passaggio 1: Non dimentichiamoci le Condizioni di Esistenza. Poniamo x + 2 >0 e otteniamo così x > -2

Passaggio 2: il logaritmo è già isolato, in questo caso puoi applicare una sostituzione per semplificare la risoluzione:

Facciamo la sostituzione $y = \log_2(x+2)$ . Quindi l’equazione diventa:

$-y^2 – 3y – 1 = 0$

Passaggio 3: risolviamo ora l’equazione come al solito:

Applichiamo la formula quadratica $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$ , dove $a = -1$ , $b = -3$ , $c = -1$ :

$y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 – 4(-1)(-1)}}{2(-1)}$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 4}}{-2}$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{-2}$

Quindi le soluzioni sono:

$y_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{-2} \quad \text{e} \quad y_2 = \frac{3 – \sqrt{5}}{-2}$

Passaggio 4: Riapplichiamo la sostituzione ai valori di x originali

Per $y_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{-2}$ :

$\log_2(x+2) = \frac{3 + \sqrt{5}}{-2}$

$x + 2 = 2^{\frac{3 + \sqrt{5}}{-2}}$

$x = 2^{\frac{3 + \sqrt{5}}{-2}} – 2$

Per $y_2 = \frac{3 – \sqrt{5}}{-2}$ :

$\log_2(x+2) = \frac{3 – \sqrt{5}}{-2}$

$x + 2 = 2^{\frac{3 – \sqrt{5}}{-2}}$

$x = 2^{\frac{3 – \sqrt{5}}{-2}} – 2$

Passaggio 5: Controlliamo il risultato con le CE, entrambe le soluzioni sono accettabili, in quanto > -2

Conclusioni equazioni con logaritmi

Le equazioni logaritmiche sono un’importante area di studio nella matematica avanzata. Con una comprensione delle tecniche risolutive e delle proprietà dei logaritmi, è possibile risolvere queste equazioni in modo efficace. Praticando con vari esercizi, diventerà più facile padroneggiare questo argomento.

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Equazioni logaritmiche: spiegazione e esercizi svolti