Equazioni Goniometriche

Le equazioni goniometriche sono fondamentali nello studio della trigonometria e trovano applicazione in numerosi ambiti scientifici e tecnici.

In questo articolo esploreremo diversi metodi per risolvere le equazioni goniometriche e forniremo esercizi svolti sulle equazioni goniometriche per ciascuna tipologia.

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In questo articolo andremo a vedere:

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Cosa sono le equazioni goniometriche?

Le equazioni goniometriche sono equazioni in cui l’incognita compare come argomento di una funzione goniometrica: seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante.

Di seguito le diverse tipologie:

1. Equazioni Goniometriche Elementari

Le equazioni goniometriche elementari sono quelle in cui compare una singola funzione goniometrica. Ad esempio:

\sin(x) = m

\cos(x) = n

\tan(x) = p

Per risolvere queste equazioni, si utilizzano le proprietà fondamentali delle funzioni goniometriche e la loro periodicità.

Un esempio è:

\sin(x) = \frac{1}{2}

2. Equazioni Goniometriche lineari

Le equazioni goniometriche lineari coinvolgono espressioni lineari di seno e coseno. Un esempio tipico è:

a \sin(x) + b \cos(x) = c

Ad esempio:

2\sin(x) + \sqrt{3}\cos(x) = 1

Per risolvere questa equazione, possiamo utilizzare il metodo dell’angolo ausiliario o esprimere la somma di seno e coseno come una singola funzione goniometrica.

3. Equazioni Goniometriche per sostituzione

Alcune equazioni goniometriche possono essere risolte mediante la sostituzione di variabili.

4. Equazioni Goniometriche con metodo di confronto

In questo metodo, due funzioni goniometriche diverse sono poste uguali tra loro. Risolvendo l’equazione risultante, si ottengono le soluzioni.

5. Equazioni Goniometriche di Secondo Grado

Questo tipo di equazioni si risolvono con più tecniche, usando raccoglimenti, proprietà della goniometria e sostituzioni.

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Adesso fermati un attimo.

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Esercizi equazioni goniometriche

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per le varie tipologie.

Esercizio 1: equazione goniometrica elementare

\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

1. Identifichiamo innanzitutto i valori di Seno:

Quando si risolve l’equazione

\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

, stiamo cercando tutti gli angoli

x

per i quali il seno è uguale a

\frac{\sqrt{3}}{2}

2. Utilizzare la Circonferenza Goniometrica:

La circonferenza goniometrica (o cerchio unitario) è uno strumento utile per visualizzare le soluzioni delle equazioni goniometriche.
Sul cerchio unitario, il valore del seno di un angolo è dato dall’ordinata (la coordinata y) del punto in cui l’angolo interseca il cerchio.

3. Trovare gli angoli:

Sul cerchio unitario, disegna una linea orizzontale a $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Questa linea intersecherà il cerchio in due punti, uno nel primo quadrante e uno nel secondo quadrante.
Gli angoli corrispondenti a questi punti sono $\frac{\pi}{3}$ (nel primo quadrante) e $\frac{2\pi}{3}$ (nel secondo quadrante).

4. Determinare i valori specifici:

Gli angoli specifici sono quindi $x_1 = \frac{\pi}{3}$ e $x_2 = \frac{2\pi}{3}$ .
Questi due angoli rappresentano le soluzioni principali nell’intervallo $[0, 2\pi]$ .

5. Considerare la periodicità:

Poiché la funzione seno è periodica con periodo $2\pi$ , le soluzioni generali sono date da: $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{e} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$
Dove $k$ è un numero intero.

Esercizio 2: equazione goniometrica lineare

2\sin(x) – \sqrt{3}\cos(x) = 0

1. Trasforma l’equazione usando le formule trigonometriche

Possiamo riscrivere l’equazione come:

2\sin(x) = \sqrt{3}\cos(x)

Dividiamo entrambi i lati per $\cos(x)$ (assumendo $\cos(x) \neq 0$ ): $2\tan(x) = \sqrt{3}$

Quindi: $\tan(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Ora risolviamo trovando la x

Troviamo i valori di $x$ che soddisfano questa equazione. Poiché $\tan(x)$ ha un periodo di $\pi$ : $x = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + k\pi$ dove $k$ è un intero.

Il valore numerico approssimativo di $\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ è circa $0.5236$ (in radianti).

Quindi: $x = 0.5236 + k\pi$

Esercizio 3: equazione goniometrica lineare riconducibile a elementare

Ipotizziamo di dover risolvere:

\cos^2 x + \sin^2(2x) = 1

1. Applichiamo le formule trigonometriche, l’idea è quella di applicarle in modo intelligente in maniera da andare a semplificare l’espressione e risolverla in una forma meno complessa. Questo passaggio richiede diverso esercizio, con il tempo vedrai che verrà sempre più semplice dopo alcuni tentativi, andare ad individuare il percorso migliore. Tieni sempre presente che non esiste un solo modo per risolvere questi casi.

Sostituiamo $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ al posto di $\sin^2(2x)$ : $\sin^2(2x) = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x$
Sostituiamo $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ al posto dell’1 nella equazione originale: $\cos^2 x + 4 \sin^2 x \cos^2 x = \cos^2 x + \sin^2 x$

2. Semplifichiamo ora la equazione risultante dalla sostituzione

$\cos^2 x + 4 \sin^2 x \cos^2 x = \cos^2 x + \sin^2 x$

semplifichiamo il coseno:

4 \sin^2 x \cos^2 x – \sin^2 x = 0

3. Fattorizziamo usando il Seno

Raccogliamo $\sin^2 x$ : $\sin^2 x (4 \cos^2 x – 1) = 0$

\sin^2 x (4 \cos^2 x – 1) = 0

3. Risolviamo ora le due equazioni ottenute con il raccoglimento:

\sin^2 x = 0

\sin x = 0

x = k\pi \quad \text{per} \quad k \in \mathbb{Z}

e la seconda equazione:

4 \cos^2 x – 1 = 0

4 \cos^2 x = 1

\cos^2 x = \frac{1}{4}

\cos x = \pm \frac{1}{2}

e la seconda equazione:

Per $\cos x = \frac{1}{2}$ : $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{per} \quad k \in \mathbb{Z}$
Per $\cos x = -\frac{1}{2}$ : $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{per} \quad k \in \mathbb{Z}$

4. Andiamo a trovare dunque le soluzioni finali:

Le soluzioni dell’equazione $\cos^2 x + \sin^2(2x) = 1$ sono:

Per $\sin x = 0$ : $x = k\pi \quad \text{per} \quad k \in \mathbb{Z}$
Per $\cos x = \pm \frac{1}{2}$ : $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{per} \quad k \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{per} \quad k \in \mathbb{Z}$

Esercizio 4: equazione goniometrica risolvibile con sostituzione

Per risolvere l’equazione trigonometriche come $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -1$ utilizzando il metodo di sostituzione, segui questi passaggi:

1. Definiamo innanzitutto la sostituzione da andare a fare:

Poniamo:

x + \frac{\pi}{3} = y

In modo da semplificare l’espressione. Così l’equazione diventa

\sin(y) = -1

2. Soluzione dell’Equazione semplificata associata:

Per risolvere $\sin(y) = -1$ , dobbiamo trovare i valori di $y$ per cui il seno è uguale a $-1$ .

L’equazione $\sin(y) = -1$ è soddisfatta quando:

y = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi

dove $k$ è un numero intero. Questo perché il seno di $\frac{3\pi}{2}$ è $-1$ , e il seno ha un periodo di $2\pi$ , quindi aggiungiamo $2k\pi$ per considerare tutte le soluzioni.

3. Ora dobbiamo sostituire per tornare alla variabile originale

x + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi

4. A questo punto risolviamo la equazione per la variabile x

Sottraiamo $\frac{\pi}{3}$ da entrambi i lati per isolare $x$ :

x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi – \frac{\pi}{3}

Per combinare le frazioni, portiamo $\frac{3\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{3}$ allo stesso denominatore:

\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}

\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6}

Quindi:

x = \frac{9\pi}{6} – \frac{2\pi}{6} + 2k\pi

x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi

Questa è la soluzione della nostra equazione.

Esercizio 5: equazione goniometrica risolvibile con metodo confronto

Immaginiamo di avere questa equazione goniometrica da risolvere:

\sin(3x) = \sin(4x)

1. Utilizziamo innanzitutto la proprietà di uguaglianza dei Seni, se i due termini devono essere uguali, devono essere uguali gli argomenti dei Seni. Dunque si confrontano i due termini

L’uguale seno implica che gli angoli devono essere uguali modulo $2\pi$ . Quindi, possiamo scrivere:

3x = 4x + 2k\pi

oppure, per simmetria:

3x = \pi – 4x + 2k\pi

dove $k$ è un numero intero, poiché i seni di angoli opposti sono uguali.

2. Procediamo risolvendo entrambi i casi, iniziamo dal primo:

3x = 4x + 2k\pi

Portiamo $4 x$ a sinistra:

3x – 4x = 2k\pi

-x = 2k\pi

x = -2k\pi

3. Per il secondo caso invece abbiamo:

3x = \pi – 4x + 2k\pi

7x = \pi + 2k\pi

x = \frac{\pi + 2k\pi}{7}

x = \frac{\pi}{7} + \frac{2k\pi}{7}

4. Il nostro risultato è dunque:

$x = -2k\pi$
dove $k$ è un numero intero.
$x = \frac{\pi}{7} + \frac{2k\pi}{7}$
dove $k$ è un numero intero.

Conclusioni

Le equazioni goniometriche rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. Con una comprensione delle tecniche risolutive, come il metodo del confronto o della sostituzione, è possibile risolvere una vasta gamma di problemi in modo efficace. La pratica con vari esercizi ti aiuterà a padroneggiare queste tecniche e ad applicarle con sicurezza in contesti reali e teorici.

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