Equazioni di Secondo Grado Esercizi

Le equazioni di secondo grado sono un argomento fondamentale nel curriculum di matematica per studenti delle scuole superiori. In questo articolo andremo a vedere esercizi per le varie casistiche.

In questo articolo andremo a vedere esercizi svolti sulle equazioni di secondo grado. Comprendere come risolverle è cruciale per affrontare numerosi problemi matematici e applicazioni in fisica e ingegneria.

In questo articolo andremo a vedere:

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Cosa sono le Equazioni di Secondo Grado?

Le equazioni di secondo grado, note anche come equazioni quadratiche, sono equazioni polinomiali in cui l’incognita compare con esponente massimo pari a due. La forma generale di un’equazione di secondo grado è:

ax^2 + bx + c = 0

dove

$a$ è il coefficiente del termine quadratico (deve essere diverso da zero),
$b$ è il coefficiente del termine lineare,
$c$ è il termine noto.

Tipi di Equazioni di secondo grado

A seconda del annullamento dei vari coefficienti, le equazioni di secondo grado possono assumere diverse forme:

Equazioni di secondo grado complete

Sono nella forma generale $ax^2 + bx + c = 0$ dove tutti i coefficienti $a$ , $b$ e $c$ sono diversi da zero.

Equazioni di secondo grado incomplete

Equazioni di secondo grado Pure

Le equazioni di secondo grado Pure hanno b = 0, sono nella forma:

ax^2 + c = 0

Le equazioni di secondo grado Spurie hanno c = 0, sono nella forma:

Equazioni di secondo grado Spurie

ax^2 + bx = 0

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Come Risolvere le Equazioni di Secondo Grado?

Per risolvere un’equazione di secondo grado si utilizza la formula risolutiva (o formula del delta):

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

Discriminante equazioni di secondo grado

Il discriminante, indicato con $Δ\Delta$ (delta), è la parte dell’equazione sotto radice quadrata nella formula risolutiva e si calcola come:

\Delta = b^2 – 4ac

Il valore di $Δ\Delta$ determina il numero e il tipo di soluzioni dell’equazione:

Se $Δ>0\Delta > 0$ $Δ > 0$ Delta Maggiore di zero, l’equazione ha due soluzioni reali e distinte.
Se $Δ=0\Delta = 0$ $Δ = 0$ Delta uguale a zero, l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti.
Se $Δ<0\Delta < 0$ $Δ < 0$ Delta minore di zero, l’equazione non ha soluzioni reali.

Risoluzione Equazioni di secondo grado Pure

ax^2 + c = 0

La relativa risoluzione delle equazioni di secondo grado pure è facile, è sufficiente isolare la x e applicare la radice quadrata:

ax^2 = -c \implies x^2 = -\frac{c}{a} \implies x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}

Risoluzione Equazioni di secondo grado Spurie

ax^2 + bx = 0

La risoluzione delle equazioni di secondo grado Spurie richiede il raccoglimento (fattorizzazione) della x, che ci porta ad avere due soluzioni per le due equazioni che si vanno a determinare:

x(ax + b) = 0

Da cui si ottiene:

x = 0 \quad \text{oppure} \quad x = -\frac{b}{a}

Adesso fermati un attimo.

Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
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Esercizi sulle Equazioni di Secondo Grado

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per le varie tipologie.

Esercizio 1: Equazione di secondo grado Delta maggiore di zero

Risolviamo l’equazione

2x^2 – 4x – 6 = 0

1. Calcolare il delta della equazione di secondo grado

\Delta = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64

2. Applichiamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4} = \frac{4 \pm 8}{4}

Troviamo dunque le seguenti soluzioni:

x_1 = \frac{4 + 8}{4} = 3

x_2 = \frac{4 – 8}{4} = -1

Esercizio 2: Equazione di secondo grado Delta uguale a zero

x^2 – 6x + 9 = 0

1. Calcoliamo il delta

\Delta = b^2 – 4ac = (-6)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 – 36 = 0

Dato che il delta è uguale a zero dovremo per forza avere due soluzioni coincidenti.

2. Applichiamo la formula risolutiva

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{6}{2} = 3

Le soluzioni sono dunque due e sono x = 3 (soluzione ripetuta).

Esercizio 3: Equazione di secondo grado Delta minore di zero

x^2 + 4x + 5 = 0

1. Calcolare il Delta

\Delta = b^2 – 4ac = 4^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 – 20 = -4

Dato che il delta è negativo, l’equazione NON ha soluzioni reali.

Esercizio 4: Equazione di secondo grado Pure

3x^2 – 12 = 0

Dato che il termine b = 0, questa è una equazione di secondo grado Pura.

1. Portiamo il termine costante dall’altra parte dell’uguale:

3x^2 = 12

2. Dividiamo per il coefficiente di $x^2$

x^2 = 4

3. Risolviamo per $x$ prendendo la radice quadrata di entrambi i membri

x = \pm 2

Quindi, le soluzioni sono: $x = 2 \quad \text{oppure} \quad x = -2$

Esercizio 5: Equazione di secondo grado Spurie

2x^2 + 4x = 0

Il termine c = 0, dunque ci troviamo davanti a una equzione di secondo grado Spuria.

1. Raccogliamo $x$ come fattore comune:

x(2x + 4) = 0

2. Risolviamo le due equazioni risultanti:

x = 0

2x + 4 = 0

2. Risolviamo la seconda equazione:

2x + 4 = 0

2x = -4

x = -2

Quindi, le soluzioni sono: $x = 0 \quad \text{oppure} \quad x = -2$

Conclusioni

Le disequazioni goniometriche rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. La pratica con vari esercizi ti aiuterà a padroneggiare queste tecniche e ad applicarle con sicurezza in contesti reali e teorici.

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