di Simone 7 Luglio 2022

Cosa sono le equazioni? Uno dei concetti di base più importanti di tutta la matematica! In questo articolo andiamo a vedere in che cosa consistono e le tecniche per risolverle, in modo da facilitarvi il recupero del debito!

CHE COS’É UN’IDENTITÀ?

Iniziamo prima di tutto da una definizione.

Un’identità è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche. Per esempio, le seguenti sono tutte identità:

0 = 0
-2 = -2
a = a
x – 3 = x – 3

CHE COSA SONO LE EQUAZIONI?

Ora passiamo al punto focale: andiamo a dare la definizione di equazione.

Un’equazione è un’identità che è valida solo per alcuni valori particolari delle incognite (qui andremo a vedere i casi solo ad una incognita, spesso denotata con x).

EQUAZIONI LINEARI

Un’equazione si dice lineare se l’unica potenza con cui compare l’incognita è 1

Esempio:

x + 3 = 2x – 7 è lineare (la x compare solo elevata alla prima)

x² – x³ + 4 = 0 non è lineare (la x compare elevata alla seconda e alla terza)

Risolvere un’equazione significa trovare i valori dell’incognita per cui vale l’identità

Ad esempio:

x = 1 è un’equazione (l’identità vale solo quando appunto x=1)
x – 3 = 1 è un’equazione (l’identità vale solo quando x=4)

In particolare, i termini a sinistra dell’uguale vengono denotati come primo membro o membro sinistro dell’equazione. Analogamente i termini a destra prendono il nome di secondo membro o membro destro.

PRINCIPI DI EQUIVALENZA

Abbiamo due principi di equivalenza, i quali ci permettono di lavorare su una determinata equazione ed ottenerne un’altra equivalente alla prima (due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni).

Primo principio: data una qualsiasi equazione, allora sommando o sottraendo la stessa quantità ad ambo i membri otteniamo un’equazione equivalente alla nostra equazione iniziale.

Secondo principio: data una qualsiasi equazione, allora moltiplicando o dividendo entrambi i membri per la stessa quantità (diversa da 0) otteniamo un’equazione equivalente alla nostra equazione iniziale.

In particolare, grazie al primo principio, possiamo portare i termini da una parte all’altra del segno di uguale cambiandogli il segno. Vediamo subito un esempio:

2x + 6 = 0

Per risolvere l’equazione vogliamo portare il 6 a destra dell’uguale. Andiamo a sottrarre 6 ad entrambi i membri:

2x + 6 – 6 = 0 – 6

Così facendo a primo membro rimarrà solo 2x e a secondo membro il – 6, ottenendo così 2x = – 6

Grazie al secondo principio possiamo eliminare il coefficiente davanti alla x: andiamo a dividere entrambi i membri per 2

${{2x}\over 2} = {{-6}\over 2}$

ovvero x = – 3 che è la soluzione dell’equazione.

Possiamo sempre verificare che le soluzioni siano giuste e che non si siano commessi errori di calcolo. Semplicemente prendiamo la nostra soluzione

x = – 3

e la inseriamo nel testo dell’esercizio:

2*(– 3) + 6 = 0, cioè -6 + 6 = 0 e quindi 0 = 0, che è un’identità.

EQUAZIONI FRATTE

Supponiamo di dover risolvere la seguente equazione:

${{2-x}\over {x-3}} = {4}$

Vogliamo eliminare il denominatore a primo membro.

ATTENZIONE: prima di procedere mettiamo le condizioni di esistenza. Cosa significa?

Noi sappiamo che NON si può dividere per 0. Quindi dobbiamo andare ad escludere il valore di x per cui il denominatore si annulla, ovvero (x – 3) si annulla. Il valore che dobbiamo andare ad escludere è x = 3.

Una volta poste le c.e. utilizziamo il secondo principio, ovvero moltiplichiamo per (x – 3) entrambi i membri.

Facendo così otteniamo:

${2-x} = {4*(x-3)}$

ovvero

${2-x} = {4x-12}$

Questa è un’equazione lineare che si risolve con i due principi, come l’esempio di sopra.

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