Le disequazioni costituiscono uno degli argomenti centrali nei corsi di matematica delle scuole superiori. Che tu stia frequentando un liceo o una scuola professionale, sicuramente ti verrà chiesto di padroneggiare disequazioni di primo grado, disequazioni fratte e disequazioni di secondo grado. Proviamo a capirle insieme con una breve spiegazione e diversi esercizi svolti.
In questo articolo andremo a vedere:
Cosa sono le disequazioni?
Le disequazioni sono delle ineguaglianze che esprimono le relazioni tra due espressioni matematiche.
Per esempio, la scrittura “x > 3” rappresenta il fatto che x sia maggiore di 3.
Le disequazioni possono assumere diverse forme, come:
- x ≤ 5
- y ≠ 0
- z < -2
- etc.
Differenza tra equazioni e disequazioni
Equazioni e disequazioni sono entrambe delle espressioni matematiche che descrivono le relazioni tra quantità. Tuttavia, esiste una sostanziale differenza tra le due:
mentre un’equazione cerca un valore specifico di una variabile che renda l’uguaglianza vera, una disequazione cerca l’insieme di tutti i valori della variabile che soddisfano la disuguaglianza.
Vediamolo nel dettaglio.
Una equazione è un’uguaglianza tra due espressioni matematiche: solitamente si richiede allo studente di trovare i valori delle variabili che la rendono valida.
Ad esempio, l’equazione 2x + 3 = 7 richiede di determinare il valore di x che renda l’equazione valida, che è pari a 2.
Al contrario, una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni matematiche. Allo studente si richiede di trovare l’intervallo di valori delle variabili che la rendono valida.
Ad esempio, la disequazione 2x + 3 > 7 richiede di trovare l’intervallo di valori di x per cui l’espressione 2x + 3 è maggiore di 7, che è x > 2.
Come risolvere le disequazioni?
Per risolvere una disequazione, dobbiamo determinare il valore o il range di valori che la rendono vera.
In generale, le disequazioni possono essere risolte utilizzando le stesse proprietà dell’algebra per equazioni, ad eccezione del fatto che quando moltiplichiamo o dividiamo per un numero negativo, dobbiamo invertire il segno della disuguaglianza.
Quali sono i tipi più comuni di disequazioni?
Ci sono molti tipi di disequazioni, ma quelli più comuni sono le disequazioni lineari (o disequazioni di primo grado), le disequazioni fratte e le disequazioni di secondo grado.
Le disequazioni lineari sono quelle in cui la variabile compare soltanto con esponente 1, ad esempio “2x – 3 ≤ 5”.
Le disequazioni fratte sono quelle in cui la variabile compare al denominatore, ad esempio “x/(x-2) > 1”.
Infine, le disequazioni di secondo grado sono quelle in cui la variabile compare con esponente 2, ad esempio “x² + 3x – 4 < 0”.
Disequazioni di secondo grado
Partiamo col dire che abbiamo affrontato le disequazioni di secondo grado in un articolo appositamente dedicato: per una spiegazione approfondita, puoi trovarlo seguendo questo link.
Le disequazioni di secondo grado sono particolarmente importanti, poiché sono spesso utilizzate per descrivere fenomeni fisici e geometrici, come il moto di un oggetto o la forma di una parabola.
Per risolvere una disequazione di secondo grado, dobbiamo portarla nella forma “ax² + bx + c < 0” oppure “ax² + bx + c > 0“, dove a, b e c sono costanti e a ≠ 0.
Una volta portata nella forma canonica, possiamo utilizzare diverse tecniche, come il metodo del discriminante o il grafico della parabola, per determinare l’intervallo di valori che soddisfano la disuguaglianza.
Le disequazioni di secondo grado vengono risolte con diverse procedure a seconda del valore di Δ (maggiore, minore o uguale a 0). Tratteremo queste casistiche in un articolo ad hoc sulle disequazioni di secondo grado.
Disequazioni esercizi svolti
Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per consolidare la comprensione delle disequazioni.
Nei video trovate esempi aggiuntivi: le disequazioni proposte non sono le stesse dell’esempio scritto a fianco.
Disequazioni lineari
Risolvere la seguente disequazione lineare: 2x – 5 > x + 3
Per risolvere questo esercizio, dobbiamo portare tutti i termini contenenti x da un lato e quelli senza x dall’altro.
Pertanto, partiamo sottraendo x ad entrambi i membri dell’equazione: 2x – 5 – x > x + 3 – x.
Otteniamo così: x – 5 > 3.
Infine, aggiungiamo 5 ad entrambi i membri dell’equazione: x > 8. Quindi, l’intervallo di valori che soddisfa l’inequazione è: x > 8.
Disequazioni fratte
Risolvere la seguente disequazione fratta: (x – 2)/(x + 3) < 0
Per risolvere questo esercizio, dobbiamo prima trovare gli zeri del numeratore e del denominatore e poi determinare il segno della frazione in ogni intervallo.
Gli zeri del numeratore sono x = 2, mentre quelli del denominatore sono x = -3. Quindi, l’intervallo di valori che divide il piano in tre parti è [-3, 2].
Per determinare il segno della frazione in ogni intervallo, dobbiamo fare un test del segno: se il numeratore e il denominatore hanno lo stesso segno, la frazione è positiva, altrimenti è negativa.
Quindi, abbiamo: per x < -3, sia il numeratore che il denominatore sono negativi, quindi la frazione è positiva;
per -3 < x < 2, il numeratore è negativo e il denominatore è positivo, quindi la frazione è negativa;
per x > 2, sia il numeratore che il denominatore sono positivi, quindi la frazione è positiva.
Quindi, l’intervallo di valori che soddisfa l’inequazione è x ∈ (-3, 2).
Otteniamo così: x – 5 > 3.
Infine, aggiungiamo 5 ad entrambi i membri dell’equazione: x > 8. Quindi, l’intervallo di valori che soddisfa l’inequazione è x > 8.
Disequazioni di secondo grado
Per una spiegazione approfondita delle disequazioni di secondo grado, ti consigliamo di guardare questo articolo.
Risolvere la seguente disequazione di secondo grado: x² – 4x + 3 > 0
Per risolvere questa disequazione, dobbiamo portarla nella forma canonica “ax² + bx + c > 0“.
Nel nostro caso, abbiamo a = 1, b = -4 e c = 3.
Quindi, calcoliamo il discriminante Δ = b² – 4ac = 4 – 4(1)(3) = -8.
Poiché Δ è minore di zero, la disequazione non ha soluzioni reali, ovvero non esiste alcun valore di x che sia una soluzione valida dell’inequazione.
Pertanto, l’intervallo di valori che soddisfa l’inequazione è vuoto.
è necessario imparare le varie tecniche di risoluzione a seconda del valore di Δ (maggiore, minore o uguale a 0). Tratteremo queste casistiche in un articolo ad hoc sulle disequazioni di secondo grado.
Conclusioni
Le disequazioni costituiscono uno strumento matematico fondamentale per descrivere le relazioni di disuguaglianza tra espressioni matematiche.
Esiste una vasta gamma di tipologie di disequazioni, tra cui le disequazioni lineari, fratte e di secondo grado.
Per risolvere le disequazioni, possiamo utilizzare diverse tecniche specifiche, come il test del segno, il metodo del discriminante o il grafico della parabola.
Inoltre, le disequazioni di secondo grado sono di particolare importanza, poiché sono spesso utilizzate per descrivere fenomeni fisici.
Per padroneggiare al meglio l’argomento, è consigliato svolgere numerosi esercizi. Sul nostro sito trovi videolezioni di teoria ed esercizi svolti passo a passo su tutti gli argomenti di matematica della scuola superiore, comprese le disequazioni! Vieni a dare un’occhiata!
Video di spiegazioni ed esercizi svolti su tutti gli argomenti
Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
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