Disequazioni esponenziali esercizi

Le disequazioni esponenziali rappresentano uno degli argomenti principali nello studio della matematica.

In questo articolo, esploreremo le disequazioni esponenziali e ti mostreremo esercizi svolti per aiutarti a comprendere meglio questo importante argomento. Trovi in fondo esercizi sulle disequazioni esponenziali.

Se sei interessato anche alle equazioni esponenziali, clicca qui.

Cosa sono le disequazioni esponenziali?

Una disequazione esponenziale è una disuguaglianza che contiene un’espressione esponenziale, dove la variabile compare nell’esponente. La forma generale di una disequazione esponenziale è:

 

af(x)ba^{f(x)} \leq b
af(x)ba^{f(x)} \geq b
af(x)<ba^{f(x)} < b
af(x)>ba^{f(x)} > b

dove aa è una base positiva e f(x)f(x) è una funzione che coinvolge la variabile xx.

Come risolvere le disequazioni esponenziali

Per risolvere le disequazioni esponenziali, esistono diverse tecniche, ti ricordiamo comunque il passaggio base fondamentale:

  1. Calcola le CE: Come sempre devi trovare le condizioni di esistenza, applicando le regole per logaritmi e frazioni, stando attenti ad applicarle anche all’esponente in cui compare la x.

Elenchiamo di seguito alcune tecniche per la risoluzione:

Usare le proprietà delle potenze per portare i termini con le stesse basi:

Questo metodo prevede l’utilizzo delle proprietà delle potenze per riuscire ad eguagliare le basi, in seguito procedere lavorando sulla disequazione associata ponendo uguali gli esponenti.

23x1>162^{3x – 1} > 16
  1. Scrivi 16 come potenza di 2: 16=2416 = 2^4.

    Quindi, la disequazione diventa: 23x1>242^{3x – 1} > 2^4

  2. Poiché le basi sono uguali, confronta gli esponenti: 3x1>43x – 1 > 4

  3. Risolvi per xx: 3x1>43x – 1 > 4 3x>53x > 5 x>53x > \frac{5}{3}

Passaggio al logaritmo:

Queste disequazioni richiedono l’applicazione dei logaritmi per risolvere l’espressione esponenziale. Utilizziamo questo metodo quando non possiamo confrontare direttamente gli esponenti perché le basi non sono uguali.

 

73x2=27^{3x^2} = 2

  1. Applica il logaritmo in base 7 a entrambi i membri della disequazione: log7(73x2)=log7(2)\log_7 (7^{3x^2}) = \log_7 (2)

  2. Utilizza la proprietà dei logaritmi: 3x2=log7(2)3x^2 = \log_7 (2)

  3. Risolvi per xx: x2=log7(2)3x^2 = \frac{\log_7 (2)}{3} x=±log7(2)3x = \pm \sqrt{\frac{\log_7 (2)}{3}}

Metodo della sostituzione:

In alcuni casi, può essere utile sostituire l’espressione esponenziale con una nuova variabile per semplificare la disequazione, passando a quella polinomiale associata. In questo caso, è sufficiente poi andare a sostituire nuovamente il valore nelle soluzioni. Sotto trovi un esempio.

Adesso fermati un attimo.

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Esercizi disequazioni esponenziali

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per consolidare la comprensione dei metodi per risolvere le equazioni esponenziali. 

Esercizio 1

Risolvi l’equazione esponenziale:

32x+1273^{2x + 1} \leq 27
  1. Scrivi 27 come potenza di 3: 27=3327 = 3^3.

  2. Applica il logaritmo naturale (ln) a entrambi i membri della disequazione: ln(32x+1)ln(33)\ln(3^{2x + 1}) \leq \ln(3^3)

  3. Utilizza la proprietà dei logaritmi: (2x+1)ln(3)3ln(3)(2x + 1) \ln(3) \leq 3 \ln(3)

  4. Dividi entrambi i membri per ln(3)\ln(3): 2x+132x + 1 \leq 3

  5. Risolvi per xx: 2x22x \leq 2 x1x \leq 1

La soluzione della disequazione è: x1x \leq 1

Esercizio 2

Consideriamo l’equazione esponenziale:

32x53x+6<03^{2x} – 5 \cdot 3^x + 6 < 0

Passaggio 1: Applichiamo per questo esercizio il metodo di sostituzione, non ci sono particolari CE da imporre.

Per semplificare l’equazione, introduciamo una nuova variabile yy tale che:

y=3xy = 3^x

Quindi, l’equazione diventa:

y25y+6<0y^2 – 5y + 6 < 0

Passaggio 2: Risolviamo ora la disequazione associata

y25y+6<0y^2 – 5y + 6 < 0
  • Troviamo le radici dell’equazione quadratica y25y+6=0y^2 – 5y + 6 = 0:

    y=5±(5)241621y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} y=5±25242y = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 24}}{2} y=5±12y = \frac{5 \pm 1}{2} y1=3y_1 = 3 y2=2y_2 = 2

  • Le radici sono y=2y = 2 e y=3y = 3. Quindi, la disequazione quadratica può essere scritta come:

    (y2)(y3)<0(y – 2)(y – 3) < 0

Passaggio 3: Determiniamo gli intervalli associati alla disequazione, dato che sono discordi, i valori sono interni

y(2,3)y \in (2, 3)

Passaggio 4: Riapplichiamo la sostituzione

Ricordando che y=3xy = 3^x, ri-sostituiamo per ottenere:

2<3x<32 < 3^x < 3

Passaggio 5: Risolviamo dunque le 2 disequazioni  esponenziali trovate: 

  • 2<3x2 < 3^x

    Prendiamo il logaritmo in base 3 di entrambi i membri:

    log3(2)<x\log_3(2) < x

    x>log3(2)x > \log_3(2)

  • 3x<33^x < 3

    Prendiamo il logaritmo in base 3 di entrambi i membri:

    x<log3(3)x < \log_3(3)

    x<1x < 1

Combinando i due intervalli, otteniamo la soluzione finale:

 

log3(2)<x<1\log_3(2) < x < 1

Conclusioni

Le disequazioni esponenziali rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. Con una comprensione delle tecniche risolutive, come il metodo del passaggio al logaritmo, è possibile risolvere una vasta gamma di problemi esponenziali in modo efficace. La pratica con vari esercizi ti aiuterà a padroneggiare queste tecniche e ad applicarle con sicurezza in contesti reali e teorici.

 

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