Equazioni esponenziali

Le equazioni esponenziali sono fondamentali nello studio della matematica delle scuole superiori e hanno applicazioni in molti campi scientifici e tecnici.

La loro risoluzione è essenziale per affrontare problemi legati ad ambiti come lo studio della crescita esponenziale, il decadimento radioattivo, gli interessi composti e numerose altre situazioni.

Se ti interessa approfondire anche le disequazioni esponanziali, clicca qui.

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Cosa sono le equazioni esponenziali

Un’equazione esponenziale è un’equazione in cui la variabile compare come esponente. La forma generale di un’equazione esponenziale è:

af(x)=ba^{f(x)} = b

dove aa e bb sono numeri reali positivi, a1a \neq 1, e f(x)f(x) è una funzione della variabile xx.

L’obiettivo è trovare i valori di xx che soddisfano la equazione esponenziale. Per risolvere le equazioni esponenziali, è necessario conoscere le proprietà delle potenze e dei logaritmi e saperle applicare correttamente.

Come risolvere le equazioni esponenziali

Per risolvere le equazioni esponenziali, esistono diverse tecniche, ti ricordiamo comunque il passaggio base fondamentale:

  1. Calcola le CE: Come sempre devi trovare le condizioni di esistenza, applicando le regole per logaritmi e frazioni, stando attenti ad applicarle anche all’esponente in cui compare la x.

Elenchiamo di seguito alcune tecniche per la risoluzione delle equazioni esponenziali:

Usare le proprietà delle potenze per eguagliare le basi:

Questo metodo prevede l’utilizzo delle proprietà delle potenze per riuscire ad eguagliare le basi, in seguito procedere lavorando sull’equazione associata ponendo uguali gli esponenti.

af(x)=ag(x)    f(x)=g(x)a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x)
Puoi trovare un esempio di applicazione di questo metodo nell’esercizio 1

Passaggio al logaritmo:

Quando non è possibile uguagliare le basi, si può prendere il logaritmo di entrambi i membri dell’equazione:

af(x)=b    log(af(x))=log(b)a^{f(x)} = b \implies \log(a^{f(x)}) = \log(b)

Utilizzando le proprietà dei logaritmi, possiamo riscrivere l’equazione come:

f(x)log(a)=log(b)f(x) \cdot \log(a) = \log(b)

Da cui possiamo isolare la variabile xx.

Metodo della sostituzione:

In alcuni casi, può essere utile sostituire l’espressione esponenziale con una nuova variabile per semplificare l’equazione. Ad esempio:

22x=2x2x=(2x)22^{2x} = 2^x \cdot 2^x = (2^x)^2

Facendo la sostituzione y=2xy = 2^x, l’equazione diventa:

y2=yy^2 = y
Che è un’equazione quadratica e può essere risolta utilizzando i metodi standard per le equazioni quadratiche.
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Adesso fermati un attimo.

Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
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Equazioni esponenziali​ esercizi

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per consolidare la comprensione dei metodi per risolvere le equazioni esponenziali. 

Esercizio 1

Risolvi l’equazione esponenziale:

2x+1=162^{x+1} = 16

Passaggio 1: Verifichiamo se ci sono da applicare C.E. In questo caso non si applica alcuna condizione di esistenza.

Passaggio 2: Uguagliamento delle basi. Cerchiamo di applicare il primo metodo che abbiamo visto e di applicare le proprietà delle potenze per uguagliare le basi. 

Osserviamo che 16 può essere scritto come una potenza di 2: 16=2416 = 2^4. Quindi possiamo riscrivere l’equazione come:

2x+1=242^{x+1} = 2^4

Passaggio 3: Uguagliamento degli esponenti

Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti:

x+1=4x+1 = 4

Passaggio 4: Isolamento della variabile

x=41x = 4 – 1
x=3x = 3
La soluzione dell’equazione è dunque X = 3

Esercizio 2

Consideriamo l’equazione esponenziale:

73x2=27^{3x^2} = 2

Passaggio 1: Applicazione del logaritmo in base 7

log7(73x2)=log7(2)\log_7(7^{3x^2}) = \log_7(2)

Passaggio 2: Utilizzo delle proprietà dei logaritmi.

Utilizziamo la proprietà dei logaritmi che permette di portare l’esponente davanti al logaritmo:

3x2log7(7)=log7(2)3x^2 \cdot \log_7(7) = \log_7(2)

Poiché log7(7)=1\log_7(7) = 1, l’equazione si semplifica a:

3x2=log7(2)3x^2 = \log_7(2)

Passaggio 3: Isolamento della variabile

Isoliamo x2x^2:

x2=log7(2)3x^2 = \frac{\log_7(2)}{3}

Prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati:

x=±log7(2)3x = \pm \sqrt{\frac{\log_7(2)}{3}}

Esercizio 3

Consideriamo l’equazione esponenziale:

32x43x+3=03^{2x} – 4 \cdot 3^x + 3 = 0

Passaggio 1: Applichiamo per questo esercizio il metodo di sostituzione, non ci sono particolari CE da imporre.

Per semplificare l’equazione, introduciamo una nuova variabile yy tale che:

y=3xy = 3^x

Quindi, l’equazione diventa:

y24y+3=0y^2 – 4y + 3 = 0

Passaggio 2: Risolviamo ora l’equazione associata

y=b±b24ac2ay = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

Dove a=1a = 1, b=4b = -4, e c=3c = 3. Sostituendo i valori:

y=4±(4)241321y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}

y=4±16122y = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 12}}{2}

y=4±22y = \frac{4 \pm 2}{2}

y1=4+22=3y_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3
y2=422=1y_2 = \frac{4 – 2}{2} = 1

Passaggio 3: Riapplichiamo la sostituzione

Ora, ricordiamo che y=3xy = 3^x. Quindi, dobbiamo risolvere per xx nelle due equazioni risultanti:

3x=33^x = 3

Questa equazione si risolve facilmente perché 31=33^1 = 3. Quindi, x=1x = 1.

3x=13^x = 1

Questa equazione si risolve osservando che 30=13^0 = 1. Quindi, x=0x = 0.

Conclusioni

Le equazioni esponenziali rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. Con una comprensione delle tecniche risolutive, come il metodo del passaggio al logaritmo, è possibile risolvere una vasta gamma di problemi esponenziali in modo efficace. La pratica con vari esercizi ti aiuterà a padroneggiare queste tecniche e ad applicarle con sicurezza in contesti reali e teorici.

 

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