Disequazioni esponenziali esercizi

Le disequazioni esponenziali rappresentano uno degli argomenti principali nello studio della matematica.

In questo articolo, esploreremo le disequazioni esponenziali e ti mostreremo esercizi svolti per aiutarti a comprendere meglio questo importante argomento. Trovi in fondo esercizi sulle disequazioni esponenziali.

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In questo articolo andremo a vedere:

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Cosa sono le disequazioni esponenziali?

Una disequazione esponenziale è una disuguaglianza che contiene un’espressione esponenziale, dove la variabile compare nell’esponente. La forma generale di una disequazione esponenziale è:

a^{f(x)} \leq b

a^{f(x)} \geq b

a^{f(x)} < b

a^{f(x)} > b

dove $a$ è una base positiva e $f(x)$ è una funzione che coinvolge la variabile $x$ .

Come risolvere le disequazioni esponenziali

Per risolvere le disequazioni esponenziali, esistono diverse tecniche, ti ricordiamo comunque il passaggio base fondamentale:

Calcola le CE: Come sempre devi trovare le condizioni di esistenza, applicando le regole per logaritmi e frazioni, stando attenti ad applicarle anche all’esponente in cui compare la x.

Elenchiamo di seguito alcune tecniche per la risoluzione:

Usare le proprietà delle potenze per portare i termini con le stesse basi:

Questo metodo prevede l’utilizzo delle proprietà delle potenze per riuscire ad eguagliare le basi, in seguito procedere lavorando sulla disequazione associata ponendo uguali gli esponenti.

2^{3x – 1} > 16

Scrivi 16 come potenza di 2: $16 = 2^4$ .
Quindi, la disequazione diventa: $2^{3x – 1} > 2^4$
Poiché le basi sono uguali, confronta gli esponenti: $3x – 1 > 4$
Risolvi per $x$ : $3x – 1 > 4$ $3x > 5$ $x > \frac{5}{3}$

Passaggio al logaritmo:

Queste disequazioni richiedono l’applicazione dei logaritmi per risolvere l’espressione esponenziale. Utilizziamo questo metodo quando non possiamo confrontare direttamente gli esponenti perché le basi non sono uguali.

$7^{3x^2} = 2$

Applica il logaritmo in base 7 a entrambi i membri della disequazione: $\log_7 (7^{3x^2}) = \log_7 (2)$
Utilizza la proprietà dei logaritmi: $3x^2 = \log_7 (2)$
Risolvi per $x$ : $x^2 = \frac{\log_7 (2)}{3}$ $x = \pm \sqrt{\frac{\log_7 (2)}{3}}$

Metodo della sostituzione:

In alcuni casi, può essere utile sostituire l’espressione esponenziale con una nuova variabile per semplificare la disequazione, passando a quella polinomiale associata. In questo caso, è sufficiente poi andare a sostituire nuovamente il valore nelle soluzioni. Sotto trovi un esempio.

Adesso fermati un attimo.

Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
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Esercizi disequazioni esponenziali

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per consolidare la comprensione dei metodi per risolvere le equazioni esponenziali.

Esercizio 1

Risolvi l’equazione esponenziale:

3^{2x + 1} \leq 27

Scrivi 27 come potenza di 3: $27 = 3^3$ .
Applica il logaritmo naturale (ln) a entrambi i membri della disequazione: $\ln(3^{2x + 1}) \leq \ln(3^3)$
Utilizza la proprietà dei logaritmi: $(2x + 1) \ln(3) \leq 3 \ln(3)$
Dividi entrambi i membri per $\ln(3)$ : $2x + 1 \leq 3$
Risolvi per $x$ : $2x \leq 2$ $x \leq 1$

La soluzione della disequazione è: $x \leq 1$

Esercizio 2

Consideriamo l’equazione esponenziale:

3^{2x} – 5 \cdot 3^x + 6 < 0

Passaggio 1: Applichiamo per questo esercizio il metodo di sostituzione, non ci sono particolari CE da imporre.

Per semplificare l’equazione, introduciamo una nuova variabile $y$ tale che:

y = 3^x

Quindi, l’equazione diventa:

$y^2 – 5y + 6 < 0$

Passaggio 2: Risolviamo ora la disequazione associata

y^2 – 5y + 6 < 0

Troviamo le radici dell’equazione quadratica $y^2 – 5y + 6 = 0$ :
$y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$ $y = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 24}}{2}$ $y = \frac{5 \pm 1}{2}$ $y_1 = 3$ $y_2 = 2$
Le radici sono $y = 2$ e $y = 3$ . Quindi, la disequazione quadratica può essere scritta come:
$(y – 2)(y – 3) < 0$

Passaggio 3: Determiniamo gli intervalli associati alla disequazione, dato che sono discordi, i valori sono interni

y \in (2, 3)

Passaggio 4: Riapplichiamo la sostituzione

Ricordando che $y = 3^x$ , ri-sostituiamo per ottenere:

$2 < 3^x < 3$

Passaggio 5: Risolviamo dunque le 2 disequazioni esponenziali trovate:

$2 < 3^x$
Prendiamo il logaritmo in base 3 di entrambi i membri:
$\log_3(2) < x$
$x > \log_3(2)$
$3^x < 3$
Prendiamo il logaritmo in base 3 di entrambi i membri:
$x < \log_3(3)$
$x < 1$

Combinando i due intervalli, otteniamo la soluzione finale:

\log_3(2) < x < 1

Conclusioni

Le disequazioni esponenziali rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. Con una comprensione delle tecniche risolutive, come il metodo del passaggio al logaritmo, è possibile risolvere una vasta gamma di problemi esponenziali in modo efficace. La pratica con vari esercizi ti aiuterà a padroneggiare queste tecniche e ad applicarle con sicurezza in contesti reali e teorici.

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