Scomposizione in fattori primi dei numeri

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di Simone 1 Luglio 2022

Stai studiando per recuperare il debito di matematica, inizi a ripassare la scomposizione in fattori primi dei numeri e… vuoto totale! Tranquillo… ti aiutiamo noi a ripassare!

Per prima cosa vediamo cosa significa scomporre un numero in fattori primi.
Questa operazione, detta anche fattorizzazione, consiste solamente nello scrivere un qualsiasi numero come prodotto di numeri primi.

PROCEDIMENTO PER LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI

Consideriamo, ad esempio, il numero 84.

Realizziamo uno schema come quello a destra. A sinistra della linea metteremo il nostro numero e a destra i vari primi della fattorizzazione

scomposizione fattori primi

Procediamo per step e troviamo i fattori primi relativi alla scomposizione:

  1. Passiamo in rassegna tutti i numeri primi e vediamo quale divide il nostro numero: ad esempio 2 divide 84. Scriviamo il 2 nella colonna di destra
scomposizione fattori primi
  1. Ora svolgiamo la divisione 84/2=42. Dunque, trascriviamo il 42 sotto al 84
  1. Procediamo in modo analogo, trovando gli altri primi divisori

Questo procedimento ha termine nel momento in cui a sinistra otteniamo il numero 1 (ricordiamo che 1 NON è un numero primo)

Abbiamo finito! Basta scrivere il nostro numero come prodotto dei primi che compaiono a destra della linea:

              84 = 2 * 2 * 3 * 7 = 22 * 3 * 7

REGOLE DI DIVISIBILITÀ PER NUMERI PRIMI

Vediamo ora dei criteri per determinare se un numero sia divisibile per un determinato primo

Sia x il nostro numero da scomporre

  • 2 : se x è PARI allora x è divisibile per 2
  • 3: se la SOMMA DELLE CIFRE di x è divisibile per 3 allora x è divisibile per 3 (esempio: x=243; infatti 2+4+3=9, che è divisibile per 3)
  • 4=22: se le ULTIME DUE CIFRE di x sono divisibile per 4 allora x è divisibile per 4 (esempio: x=236; infatti 36 è divisibile per 4)
  • 5: se l’ULTIMA CIFRA di x è 0 oppure 5 allora x è divisibile per 5
  • 9=32 : se la SOMMA DELLE CIFRE di x è divisibile per 9 allora x è divisibile per 9
  • 10=2*5: se l’ULTIMA CIFRA di x è 0 allora x è divisibile per 10
  • 11: se la DIFFERENZA TRA LA SOMMA DELLE CIFRE DI POSTO PARI E LA SOMMA DELLE CIFRE DI POSTO DISPARI è divisibile per 11 allora x è divisibile per 11 (esempio: x = 132; somma cifre posto dispari = 1 + 2 = 3 somma cifre posto pari = 3 ==> differenza = 3 – 3 = 0, e 0 è divisibile da qualsiasi numero, in particolare da 11)

COSA SONO I NUMERI PRIMI?

Sì, ma cos’è un “numero primo”? Un numero primo è un numero tale per cui gli unici suoi divisori sono 1 e sé stesso. Si può dimostrare che i numeri primi sono infiniti! L’elenco di alcuni numeri primi è:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

1 È UN NUMERO PRIMO?

Ti starai chiedendo: 1 è un numero primo? 1 per convenzione non è un numero primo: il motivo di questa convenzione risiede nel “Teorema fondamentale dell’aritmetica”.

Per spiegarlo nella maniera più semplice possibile, questo teorema afferma che la scomposizione in fattori primi di un qualsiasi numero esista e sia unica (unica a meno del riordinamento dei fattori: 6=2*3 e 6=3*2 sono considerate come la stessa fattorizzazione). Se 1 fosse un numero primo, l’unicità della fattorizzazione verrebbe meno e non varrebbe più il teorema. Quindi, ribadiamolo, 1 non è un numero primo.

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