Logaritmi: spiegazione ed esercizi svolti

I logaritmi sono uno strumento fondamentale nella matematica, utilizzati per risolvere equazioni, semplificare calcoli e modellare fenomeni complessi. In questo articolo, esploreremo cosa sono i logaritmi e le proprietà fondamentali che li caratterizzano.

In questo articolo andremo a vedere:

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Cosa sono i logaritmi?

I logaritmi sono uno strumento matematico, in particolare, il logaritmo di un numero in una data base è l’esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso.

Nel particolare, il logaritmo base $a$ di un numero $b$ è indicato come:

\log_a b

e rappresenta l’esponente al quale dobbiamo elevare la base $a$ per ottenere $b$ . In altre parole deve valere la seguente relazione:

a^x = b

, allora

\log_a b = x

a è detta base del logaritmo
b è l’argomento del logaritmo

Un veloce esempio è il seguente:

\log_2 8 = 3

perché

2^3 = 8

RICORDA che le condizioni di esistenza dei logaritmi, richiedono che:

b > 0, ossia l’argomento strettamente maggiore di 0
a > 0 e a ≠ 1

Relazione con gli esponenziali

I logaritmi e le equazioni esponenziali sono strettamente collegati, i logaritmi infatti sono l’operazione inversa delle potenze.

a^x = b

allora

\log_a b = x

e viceversa

A cosa servono i logaritmi?

I logaritmi sono strumenti matematici essenziali con diverse applicazioni. Essi risolvono equazioni esponenziali, stimano crescita e decadimento, analizzano la complessità degli algoritmi informatici e compaiono in leggi scientifiche.

In finanza, sono usati per calcolare il rendimento e in geometria analitica per risolvere problemi di spazio a più dimensioni. I grafici logaritmici aiutano a visualizzare dati su scale ampie, e i logaritmi sono cruciali per il calcolo della probabilità in statistica.

Le proprietà dei logaritmi

Proprietà logaritmo del prodotto

\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y

Fai attenzione che il prodotto degli argomenti si traduce come somma dei logaritmi e non come moltiplicazione!
Ad esempio:

\log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5

Proprietà logaritmo del quoziente

\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y

Anche in questo caso fai attenzione a non fare il quoziente, ma la sottrazione frai logaritmi. Ad esempio:

\log_3 \left(\frac{27}{9}\right) = \log_3 27 – \log_3 9 = 3 – 2 = 1

Proprietà della potenza

\log_a x^n = n \cdot \log_a x

La proprietà della potenza , consente di portare davanti al logaritmo l’esponente dell’argomento. Ad esempio:

\log_5 (2^4) = 4 \cdot \log_5 2 = 4 \cdot 0.4307 \approx 1.7228

Cambiamento di base

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Proviamo a portare il tutto in base 2:

\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4}

Ora calcoliamo ciascun logaritmo al numeratore e denominatore

\log_2 8 = 3

\log_2 4 = 2

Otteniamo dunque sostituendo questo risultato:

\frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}

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Logaritmi: esercizi svolti

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti sui logaritmi: questi esercizi ti aiuteranno a fissare una tecnica risolutiva step-by-step e ad esemplificare quello che abbiamo visto finora a livello teorico.

Esercizio 1

Risolvi la seguente espressione:

\log_3 (x + 2) + \log_3 (x – 1) = 2

Passaggio 1) Calcoliamo innanzitutto le condizioni di esistenza che per i logaritmi significa mettere la base > 0 (STRETTAMENTE!)

poniamo dunque:

(x+2) > 0 => x > -2
(x-1) > 0 = x > 1

Otteniamo dunque come CE della equazione: x > 1

Passaggio 2) Utilizziamo la proprietà del prodotto dei logaritmi, che ci permette di combinare due logaritmi con la stessa base in un unico logaritmo:

\log_3 (x + 2)(x – 1) = 2

Passaggio 3) Ora applichiamo il legame che abbiamo visto prima con l’esponenziale, cioè:

\log_a b = x

, quindi

a^x = b

nel nostro caso la base a = 3, la andiamo dunque a elevare alla x che nel nostro caso è 2 e poniamo tutto uguale all’argomento del logaritmo b che nel nostro caso è (x+2)(x-1)

3² =

(x + 2) (x - 1)

Passaggio 4) Ora risolviamo l’equazione come una normale equazione di secondo grado

x^2 + x – 2 = 9

x^2 + x – 11 = 0

Applichiamo la formula quadratica: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$ $, e otteniamo: x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 11}}{2}$ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{45}}{2}$

Delle due soluzioni, l’unica soluzione valida per le CE (x > 1) è:

x = \frac{-1 + \sqrt{45}}{2}

Il trucco per le equazioni con il logaritmo è dunque quello di cercare di ricondursi a una forma con il log a sinistra e un termine noto a destra, per applicare la relazione con le esponenziali in modo da rimuovere il logaritmo. Fatto questo è sufficiente procedere con i calcoli e verificare i risultati con le CE.

Esercizio 2

Risolvi la seguente equazione:

\log_4(3x^2) – \frac{1}{3}\log_4(x) = 1

Passaggio 1) Innanzitutto calcoliamo le CE, in questo caso è sufficiente imporre x > 0

Passaggio 2) Utilizziamo la proprietà del prodotto e poi della potenza del logaritmo per semplificare il primo termine:

\log_4(3x^2) = \log_4(3) + 2\log_4(x)

Passaggio 3) Sostituendo la semplificazione nella nostra equazione iniziale, otteniamo:

\log_4(3) + 2\log_4(x) – \frac{1}{3}\log_4(x) = 1

Passaggio 4) Sommiamo i logaritmi simili:

\log_4(3) + \frac{5}{3}\log_4(x) = 1

Passaggio 5) Portiamo ora tutti i termini con x a sinistra e quelli noti a destra:

\frac{5}{3}\log_4(x) = 1 – \log_4(3)

Passaggio 6) Dividiamo per 5/3:

\log_4(x) = \frac{3}{5}(1 – \log_4(3))

Passaggio 7) Ora applichiamo la relazione fra logaritmi e esponenziali:

x = 4^{\frac{3}{5}(1 – \log_4(3))}

Dato che è maggiore di 0, risponde alle condizioni di esistenza. Dunque questa è la nostra soluzione.

Conclusioni

In chiusura, abbiamo attraversato i concetti fondamentali dei logaritmi, scoprendo la loro essenziale utilità nella risoluzione di equazioni e nella manipolazione di espressioni. La proprietà della potenza, il cambio di base e l’applicazione pratica ci hanno fornito gli strumenti per affrontare sfide matematiche in modo più efficace.

Il logaritmo è un alleato fondamentale per i tuoi studi sia che tu sia in liceo o in università, troverai spesso questo concetto per descrivere l’andamento di funzioni o studiare la fisica.

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