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Le equazioni esponenziali sono fondamentali nello studio della matematica delle scuole superiori e hanno applicazioni in molti campi scientifici e tecnici.
La loro risoluzione è essenziale per affrontare problemi legati ad ambiti come lo studio della crescita esponenziale, il decadimento radioattivo, gli interessi composti e numerose altre situazioni.
Se ti interessa approfondire anche le disequazioni esponanziali, clicca qui.
In questo articolo andremo a vedere:
Cosa sono le equazioni esponenziali
Un’equazione esponenziale è un’equazione in cui la variabile compare come esponente. La forma generale di un’equazione esponenziale è:
dove a e b sono numeri reali positivi, a=1, e f(x) è una funzione della variabile x.
L’obiettivo è trovare i valori di xxx che soddisfano la equazione esponenziale. Per risolvere le equazioni esponenziali, è necessario conoscere le proprietà delle potenze e dei logaritmi e saperle applicare correttamente.
Come risolvere le equazioni esponenziali
Per risolvere le equazioni esponenziali, esistono diverse tecniche, ti ricordiamo comunque il passaggio base fondamentale:
- Calcola le CE: Come sempre devi trovare le condizioni di esistenza, applicando le regole per logaritmi e frazioni, stando attenti ad applicarle anche all’esponente in cui compare la x.
Elenchiamo di seguito alcune tecniche per la risoluzione delle equazioni esponenziali:
Usare le proprietà delle potenze per eguagliare le basi:
Questo metodo prevede l’utilizzo delle proprietà delle potenze per riuscire ad eguagliare le basi, in seguito procedere lavorando sull’equazione associata ponendo uguali gli esponenti.
Passaggio al logaritmo:
Quando non è possibile uguagliare le basi, si può prendere il logaritmo di entrambi i membri dell’equazione:
Utilizzando le proprietà dei logaritmi, possiamo riscrivere l’equazione come:
Da cui possiamo isolare la variabile xxx.
Metodo della sostituzione:
In alcuni casi, può essere utile sostituire l’espressione esponenziale con una nuova variabile per semplificare l’equazione. Ad esempio:
Facendo la sostituzione y=2x, l’equazione diventa:
Adesso fermati un attimo.
Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
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Equazioni esponenziali esercizi
Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per consolidare la comprensione dei metodi per risolvere le equazioni esponenziali.
Esercizio 1
Risolvi l’equazione esponenziale:
Passaggio 1: Verifichiamo se ci sono da applicare C.E. In questo caso non si applica alcuna condizione di esistenza.
Passaggio 2: Uguagliamento delle basi. Cerchiamo di applicare il primo metodo che abbiamo visto e di applicare le proprietà delle potenze per uguagliare le basi.
Osserviamo che 16 può essere scritto come una potenza di 2: 16=24. Quindi possiamo riscrivere l’equazione come:
Passaggio 3: Uguagliamento degli esponenti
Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti:
Passaggio 4: Isolamento della variabile
Esercizio 2
Consideriamo l’equazione esponenziale:
Passaggio 1: Applicazione del logaritmo in base 7
Passaggio 2: Utilizzo delle proprietà dei logaritmi.
Utilizziamo la proprietà dei logaritmi che permette di portare l’esponente davanti al logaritmo:
Poiché log7(7)=1, l’equazione si semplifica a:
3x2=log7(2)
Passaggio 3: Isolamento della variabile
Isoliamo x2:
x2=3log7(2)
Prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati:
Esercizio 3
Consideriamo l’equazione esponenziale:
Passaggio 1: Applichiamo per questo esercizio il metodo di sostituzione, non ci sono particolari CE da imporre.
Per semplificare l’equazione, introduciamo una nuova variabile yyy tale che:
Quindi, l’equazione diventa:
Passaggio 2: Risolviamo ora l’equazione associata
y=2a−b±b2−4ac
Dove a=1, b=−4, e c=3. Sostituendo i valori:
y=2⋅14±(−4)2−4⋅1⋅3
y=24±16−12
y=24±2
Passaggio 3: Riapplichiamo la sostituzione
Ora, ricordiamo che y=3x. Quindi, dobbiamo risolvere per x nelle due equazioni risultanti:
Questa equazione si risolve facilmente perché 31=3. Quindi, x=1.
Questa equazione si risolve osservando che 30=1. Quindi, x=0.
Conclusioni
Le equazioni esponenziali rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. Con una comprensione delle tecniche risolutive, come il metodo del passaggio al logaritmo, è possibile risolvere una vasta gamma di problemi esponenziali in modo efficace. La pratica con vari esercizi ti aiuterà a padroneggiare queste tecniche e ad applicarle con sicurezza in contesti reali e teorici.
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