Equazioni esponenziali

Le equazioni esponenziali sono fondamentali nello studio della matematica delle scuole superiori e hanno applicazioni in molti campi scientifici e tecnici.

La loro risoluzione è essenziale per affrontare problemi legati ad ambiti come lo studio della crescita esponenziale, il decadimento radioattivo, gli interessi composti e numerose altre situazioni.

Se ti interessa approfondire anche le disequazioni esponanziali, clicca qui.

In questo articolo andremo a vedere:

Riproduci video su eq esponenziale 2

Cosa sono le equazioni esponenziali

Un’equazione esponenziale è un’equazione in cui la variabile compare come esponente. La forma generale di un’equazione esponenziale è:

a^{f(x)} = b

dove $a$ e $b$ sono numeri reali positivi, $a \neq 1$ , e $f(x)$ è una funzione della variabile $x$ .

L’obiettivo è trovare i valori di $x$ che soddisfano la equazione esponenziale. Per risolvere le equazioni esponenziali, è necessario conoscere le proprietà delle potenze e dei logaritmi e saperle applicare correttamente.

Come risolvere le equazioni esponenziali

Per risolvere le equazioni esponenziali, esistono diverse tecniche, ti ricordiamo comunque il passaggio base fondamentale:

Calcola le CE: Come sempre devi trovare le condizioni di esistenza, applicando le regole per logaritmi e frazioni, stando attenti ad applicarle anche all’esponente in cui compare la x.

Elenchiamo di seguito alcune tecniche per la risoluzione delle equazioni esponenziali:

Usare le proprietà delle potenze per eguagliare le basi:

Questo metodo prevede l’utilizzo delle proprietà delle potenze per riuscire ad eguagliare le basi, in seguito procedere lavorando sull’equazione associata ponendo uguali gli esponenti.

a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x)

Puoi trovare un esempio di applicazione di questo metodo nell’esercizio 1

Passaggio al logaritmo:

Quando non è possibile uguagliare le basi, si può prendere il logaritmo di entrambi i membri dell’equazione:

a^{f(x)} = b \implies \log(a^{f(x)}) = \log(b)

Utilizzando le proprietà dei logaritmi, possiamo riscrivere l’equazione come:

f(x) \cdot \log(a) = \log(b)

Da cui possiamo isolare la variabile $x$ .

Metodo della sostituzione:

In alcuni casi, può essere utile sostituire l’espressione esponenziale con una nuova variabile per semplificare l’equazione. Ad esempio:

2^{2x} = 2^x \cdot 2^x = (2^x)^2

Facendo la sostituzione $y = 2^x$ , l’equazione diventa:

y^2 = y

Che è un’equazione quadratica e può essere risolta utilizzando i metodi standard per le equazioni quadratiche.

Riproduci video su equazioni esponenziali 1

Adesso fermati un attimo.

Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
Sul nostro sito trovi video-lezioni di teoria ed esercizi svolti passo a passo su tutti gli argomenti di matematica della scuola superiore, comprese le equazioni. Vieni a dare un’occhiata!

Equazioni esponenziali esercizi

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per consolidare la comprensione dei metodi per risolvere le equazioni esponenziali.

Esercizio 1

Risolvi l’equazione esponenziale:

2^{x+1} = 16

Passaggio 1: Verifichiamo se ci sono da applicare C.E. In questo caso non si applica alcuna condizione di esistenza.

Passaggio 2: Uguagliamento delle basi. Cerchiamo di applicare il primo metodo che abbiamo visto e di applicare le proprietà delle potenze per uguagliare le basi.

Osserviamo che 16 può essere scritto come una potenza di 2: $16 = 2^4$ . Quindi possiamo riscrivere l’equazione come:

2^{x+1} = 2^4

Passaggio 3: Uguagliamento degli esponenti

Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti:

x+1 = 4

Passaggio 4: Isolamento della variabile

x = 4 – 1

x = 3

La soluzione dell’equazione è dunque X = 3

Esercizio 2

Consideriamo l’equazione esponenziale:

7^{3x^2} = 2

Passaggio 1: Applicazione del logaritmo in base 7

\log_7(7^{3x^2}) = \log_7(2)

Passaggio 2: Utilizzo delle proprietà dei logaritmi.

Utilizziamo la proprietà dei logaritmi che permette di portare l’esponente davanti al logaritmo:

3x^2 \cdot \log_7(7) = \log_7(2)

Poiché $\log_7(7) = 1$ , l’equazione si semplifica a:

$3x^2 = \log_7(2)$

Passaggio 3: Isolamento della variabile

Isoliamo $x^2$ :

$x^2 = \frac{\log_7(2)}{3}$

Prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati:

x = \pm \sqrt{\frac{\log_7(2)}{3}}

Esercizio 3

Consideriamo l’equazione esponenziale:

3^{2x} – 4 \cdot 3^x + 3 = 0

Passaggio 1: Applichiamo per questo esercizio il metodo di sostituzione, non ci sono particolari CE da imporre.

Per semplificare l’equazione, introduciamo una nuova variabile $y$ tale che:

y = 3^x

Quindi, l’equazione diventa:

y^2 – 4y + 3 = 0

Passaggio 2: Risolviamo ora l’equazione associata

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

Dove $a = 1$ , $b = -4$ , e $c = 3$ . Sostituendo i valori:

$y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 12}}{2}$

$y = \frac{4 \pm 2}{2}$

y_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3

y_2 = \frac{4 – 2}{2} = 1

Passaggio 3: Riapplichiamo la sostituzione

Ora, ricordiamo che $y = 3^x$ . Quindi, dobbiamo risolvere per $x$ nelle due equazioni risultanti:

3^x = 3

Questa equazione si risolve facilmente perché $3^1 = 3$ . Quindi, $x = 1$ .

3^x = 1

Questa equazione si risolve osservando che $3^0 = 1$ . Quindi, $x = 0$ .

Conclusioni

Le equazioni esponenziali rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. Con una comprensione delle tecniche risolutive, come il metodo del passaggio al logaritmo, è possibile risolvere una vasta gamma di problemi esponenziali in modo efficace. La pratica con vari esercizi ti aiuterà a padroneggiare queste tecniche e ad applicarle con sicurezza in contesti reali e teorici.

Video di spiegazioni ed esercizi svolti su tutti gli argomenti

Spesso studiare matematica è stressante e richiede un sacco di tempo.
Non ti racconteremo che con noi puoi “studiare divertendoti”, ma sicuramente puoi farlo nella metà del tempo.

Sul nostro sito trovi video da 5-10 minuti per ogni argomento, compresi quelli sulle equazioni!
Basta un video al giorno per migliorare tantissimo: prova a dare un’occhiata!