Le equazioni sono un elemento fondamentale nello studio della matematica delle scuole superiori. Questo articolo offre una guida completa per risolvere esercizi di equazioni di primo grado, equazioni fratte, parametriche e con radicali.
Troverai spiegazioni dettagliate e suggerimenti pratici per affrontare e risolvere vari tipi di esercizi.
Se cerchi invece informazioni sulle equazioni di secondo grado, clicca qui.
In questo articolo andremo a vedere:
Equazioni di primo grado definizione
Un’equazione lineare di primo grado è un’espressione matematica della forma generale , dove , , e sono numeri reali e è la variabile da determinare. Il termine “di primo grado” indica che la variabile è elevata alla potenza 1, e quindi l’equazione rappresenta una linea retta dal punto di vista grafico.
La risoluzione delle equazioni di primo grado richiede l’impiego dei principi di equivalenza.
Primo principio di equivalenza
Il Primo Principio di Equivalenza afferma che se aggiungiamo o sottraiamo lo stesso numero a entrambi i lati di un’equazione, l’uguaglianza rimane valida. Questo principio è utilizzato per isolare la variabile su un lato dell’equazione.
Secondo principio di equivalenza
Il Secondo Principio di Equivalenza stabilisce che se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i lati di un’equazione per lo stesso numero diverso da zero, l’uguaglianza rimane valida. Questo principio è utilizzato per risolvere l’equazione una volta che la variabile è stata isolata.
Per risolvere le equazioni è anche molto importante ricordarsi delle Condizioni di Esistenza.
Che cosa sono le condizioni di esistenza?
Le condizioni di esistenza sono i requisiti necessari affinché un’espressione matematica sia definita e abbia senso all’interno di un contesto. In particolare, per le equazioni che coinvolgono radicali e frazioni, queste condizioni garantiscono che le operazioni siano eseguibili e che le soluzioni siano valide.
Andiamo a vedere come risolvere le equazioni di primo grado, di seguito troviamo le diverse casistiche che possiamo trovare.
Esercizio e metodo risoluzione equazioni di primo grado lineari
I passaggi da svolgere per la risoluzioni delle equazioni di primo grado lineari, richiedono l’utilizzo del primo e secondo principio di equivalenza.
I passaggi da svolgere per la risoluzioni delle equazioni di primo grado lineari, richiedono l’utilizzo del primo e secondo principio di equivalenza. I passaggi sono i seguenti:
- Isola la variabile xx su un lato dell’equazione.
- Risolvi per xx tramite operazioni algebriche.
- Dividi entrambi i membri per il coefficiente della x e trovi così il risultato.
Consideriamo l’equazione lineare di primo grado:
1. Isoliamo la variabile x usando il primo principio di equivalenza
Per isolare il termine con la variabile, dobbiamo liberarlo dal termine costante. Aggiungiamo 5 a entrambi i lati dell’equazione:
In questo modo stiamo semplificando la equazione, isolando la x solo sul lato sinistro e i termini noti solo sul lato destro. Questo passaggio mostra passo passo cosa succede applicando il primo principio in cui è stato sommato lo stesso termine a destra e sinistra.
Facendo esercizi troverai più semplice ragionare in questo modo: porta tutti i termini con la x a sinistra dell’uguale, cambiando il segno. Viceversa tutti i termini senza x a destra, sempre cambiandone il segno. Questi passaggi equivalgono ad applicare più volte il primo principio di equivalenza.
2. Risolvi per x, sommando algebricamente i termini a sinistra e i termini a destra dell’uguale.
3. Dividiamo per il coefficiente della x, ossia applichiamo il Secondo Principio di Equivalenza
Il secondo principio di equivalenza ci dice che possiamo dividere entrambi i termini per lo stesso numero, a patto che sia diverso da zero. In questo caso dunque, per isolare la x, dividiamo entrambi i membri per 3:
Esercizio e metodo risoluzione Equazioni Fratte
Le equazioni fratte contengono frazioni con variabili nel denominatore, ad esempio .
- Poniamo le condizioni di esistenza.
- Eliminare le frazioni moltiplicando entrambi i lati per il denominatore comune.
- Risolviamo l’equazione risultante come una normale equazione lineare.
1. Poniamo le condizioni di esistenza (C.E.)
Siccome parliamo di equazione, con al denominatore uno o più termini in x, è fondamentale porre le condizioni di esistenza.
I denominatori in cui compare la x, devono essere posti diversi da zero.
In questo caso avendo solo il termine x -3, lo poniamo diverso da zero, dunque x deve essere diverso da 3. Alla fine dei calcoli dobbiamo verificare il risultato che deve rispettare le C.E. imoste
2. Eliminiamo le frazioni moltiplicando entrambi i lati per il denominatore comune
Risolvendo l’equazione :
Moltiplichiamo entrambi i lati per (x-1), applicando il secondo principio di equivalenza. Troviamo semplificando a sinistra:
3. Risolviamo l’equazione risultante come una normale equazione lineare
La soluzioni è diversa da 3 (ricordiamoci le condizioni di esistenza!), dunque è accettabile
Adesso fermati un attimo.
Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
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Esercizio e metodo risoluzione Equazioni Parametriche di Primo Grado
Le equazioni parametriche, presentano dei termini letterali, da trattare come fossero termini noti, per i quali svolgere le sostituzioni.
L’esercizio può dare direttamente la valorizzazione per le lettere, o richiedere la discussione al variare dei parametri. Di seguito trovi due esempi per entrambi i casi.
Esempio 1: Esercizio equazione parametrica con Sostituzione di parametri
Risolviamo l’equazione per i valori e .
1. Sostituiamo a e b, con i valori dei parametri
2. Risolviamo l’equazione risultante come una normale equazione lineare
Esempio 2: Esercizio equazione parametrica con Discussione
Consideriamo l’equazione parametrica in x, da discutere al variare del parametro a:
1. Isoliamo la x, trattando la a, come se fosse un termine noto
2. Discutiamo ora le soluzioni al variare del parametro a
notiamo che il denominatore diventa = 0, condizione impossibile. Dunque possiamo concludere che per a = – 1 , l’equazione è impossibile.
possiamo dire che abbiamo soluzioni diverse, al variabile del parametro a .
Esercizio e metodo risoluzione Equazioni di Primo Grado con Radicali
Le equazioni con radicali, sono quelle equazioni che hanno termini in x, come argomento di una o più radici. Questi sono i passaggi per risolverle:
- Poniamo le condizioni di esistenza.
- Isoliamo i termini con radici e usiamo le relative proprietà per semplificarle.
- Eleviamo entrambi i termini, in modo da rimuovere la radice.
- Risolviamo l’equazione risultante come una normale equazione lineare.
Prendiamo un esempio:
1. Poniamo le condizioni di esistenza (C.E.)
- L’espressione sotto la radice quadrata deve essere non negativa:
- Risolviamo l’inequazione:
2. Isoliamo i termini con radici e usiamo le relative proprietà per semplificarle
In questo esempio la radice risulta già isolata a sinistra.
3. Eleviamo entrambi i termini, in modo da rimuovere la radice
Per eliminare il radicale, eleviamo entrambi i lati dell’equazione al quadrato:
Questo semplifica a:
4. Risolviamo l’equazione risultante come una normale equazione lineare
Dividiamo entrambi i membri per 2:
Il risultato rispetta le C.E. quindi è accettabile.
Conclusioni
Le disequazioni goniometriche rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. La pratica con vari esercizi ti aiuterà a padroneggiare queste tecniche e ad applicarle con sicurezza in contesti reali e teorici.
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