Equazioni di secondo grado

di Simone 6 Agosto 2022

Vediamo i diversi tipi di equazioni di secondo grado, e i diversi metodi per risolvere questo tipo di equazione.

Come anche nelle equazioni di primo grado, anche in quelle di secondo, una volta trovate le soluzioni, si possono sostituire all’interno dell’equazione per controllare che siano giuste e che non ci siano stati errori di calcolo.

Equazioni di secondo grado monomie

Un’equazione si dice monomia se è di questo tipo:

${ax^2}=0$

con a un qualsiasi numero.

In questo caso, l’equazione ha due soluzioni coincidenti, cioè

$x_1=x_2=0$

Equazioni di secondo grado pure

Un’equazione si dice pura se è di questo tipo:

$ax^2+c=0$

con a e c due numeri qualsiasi.

$x_{1,2}=\pm{\sqrt{-{c\over{a}}}}$

In particolare, le due soluzioni sono reali, cioè la radice esiste nello spazio dei numeri reali, se

$-{c\over{a}}$

cioè se a e c sono discordi (quindi a e c hanno segno opposto).

Esempio

$2x^2-18=0$

Allora le due soluzioni saranno

$x_{1,2}=\pm{\sqrt{-{{-18}\over{2}}}}}$

cioè

$x_{1,2}=\pm3$

Quindi ho due soluzioni

$x_1=+3, x_2=-3$

Equazioni di secondo grado spurie

Un’equazione si dice spuria se è di questo tipo:

$ax^2+bx=0$

con a e b numeri qualsiasi.

Questo tipo di equazione si risolve raccogliendo la x, ovvero

${x\cdot(ax+b)}=0$

Grazie al principio di annullamento del prodotto, abbiamo le due soluzioni dell’equazione:

${x=0} \cup {ax+b=0}$

Quindi in questo tipo di equazione di secondo grado una delle soluzioni sarà la soluzione dell’equazione di primo grado, mentre l’altra sarà sempre 0.

Quindi le due soluzioni sono:

${x_1=0} \cup {x_2=-{b\over{a}}}$

Esempio

$4x^2+7x=0$

Quindi raccogliamo la x:

$x\cdot(4x+7)=0$

Da cui abbiamo:

${x=0} \cup {4x+7=0}$

Le due soluzioni dell’equazioni quindi sono

${x_1=0}\cup{x_2=-{7\over4}}$

Equazioni di secondo grado complete

Vediamo ora il caso più generale di questo tipo di equazione: l’equazione di secondo grado completa, ovvero un’equazione del tipo:

$ax^2+bx+c=0$

con a, b e c numeri qualsiasi.

Esiste una formula risolutiva per questo tipo di equazioni, ovvero:

${x_{1,2}}={{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}\over{2a}}$

Di particolare importanza è l’argomento della radice, ovvero il discriminante dell’equazione:

$\Delta=b^2-4ac$

In base al valore del discriminante avremo delle differenze sulla natura delle soluzioni dell’equazione:

Δ>0

In questo caso avremo due soluzioni reali distinte

Δ=0

In questo caso avremo due soluzioni reali coincidenti, ovvero “una sola” soluzione

Δ<0

In questo caso non avremo nessuna soluzione reale

Esempio

$2x^2-7x-4=0$

Applichiamo la formula, sapendo che

a=2, b=-7, c=-4

Quindi le due soluzioni si trovano con la formula:

$x_{1,2}={{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot2\cdot(-4)}}\over{2\cdot2}}$

$={{7\pm\sqrt{49+32}}\over{4}}$

$={{7\pm\sqrt{81}}\over{4}}$

$={{7\pm9}\over{4}}$

Nel caso del +, avremo

$x_1={{7+9}\over{4}}={16\over4}=4$

Nel caso del -, invece, avremo

$x_2={{7-9}\over{4}}={{-2}\over4}=-{1\over2}$

Dunque le due soluzioni della nostra equazione saranno

$x_1=4, x_2=-{1\over2}$

Formula ridotta per l’equazione completa

Nelle equazioni di secondo grado complete, se il coefficiente della x, ovvero la b, è pari si può applicare la cosiddetta formula ridotta:

${x_{1,2}}={{-({b\over2})\pm\sqrt{({b\over2})^2-ac}}\over{a}}$

ovvero al posto che considerare b, consideriamo b/2.

In questo caso al posto del solito Δ, consideriamo

${\Delta\over4}={({b\over2})^2-ac}$

Qual è il vantaggio? A volte i calcoli potrebbero risultare molto complessi, specialmente per quanto riguarda la radice. Utilizzando la formula ridotta, nell’ipotesi che b sia pari, si semplificheranno notevolmente i calcoli.