Equazione della parabola

di Simone 13 Agosto 2022

Che cos’è una parabola nel piano cartesiano? Quali sono le sue principali proprietà? Andiamo ad analizzare tutto questo e a vedere come studiare l’equazione della parabola!

Definizione di parabola

La parabola è il luogo geometrico dei punti tali per cui la distanza di un punto generico della parabola da un punto fisso detto fuoco è uguale alla distanza tra il punto della parabola stesso e una retta fissata detta direttrice

Quindi avremmo una situazione di questo tipo:

dove la distanza d₁(ovvero tra il fuoco e il punto della parabola) e d₂(ovvero tra la direttrice e il punto della parabola) sono uguali.

Equazione di una parabola con asse di simmetria verticale e vertice nell’origine

L’equazione in questione è:

$y=ax^2$

dove a rappresenta l’”apertura” della parabola.

Il parametro a della parabola indica anche la concavità: se a>0 allora la parabola sarà concava verso l’alto (come nell’immagine); se invece a<0 allora la parabola sarà concava verso il basso.

In questo caso il vertice, giustamente, avrà coordinate

$V(0, 0)$

la retta direttrice avrà equazione

$d: y=-1$

e il fuoco sarà il punto

$F=(0, 1)$

$2x^3-27x^2+9x+16=(x-1)\cdot(2x^2-25x-16)$

Di particolare importanza è anche la retta che identifica l’asse di simmetria della parabola: essa è una retta verticale passante per il vertice. In questo caso di parabola particolare avremo che

$a: x=0$

Equazione di una parabola con asse di simmetria verticale generica

L’equazione di una parabola generica (quindi con vertice un qualsiasi punto) con asse verticale è la seguente:

$y=ax^2+bx+c$

con a,b e c i parametri della circonferenza.

Il ruolo di a è lo stesso rispetto all’equazione della parabola con il vertice nell’origine

Possiamo andare a determinare tutte le caratteristiche della parabola elencate prima, cioè:

Vertice

Le coordinate del vertice generico sono:

$V(-{b\over{2a}}, -{\Delta\over{4a}})$

dove

$\Delta=b^2-4ac$

ovvero lo stesso delle equazioni di secondo grado!

Fuoco

Le coordinate del fuoco sono:

$F(-{b\over{2a}}, {{1-\Delta}\over{4a}})$

Asse di simmetria

L’asse di simmetria è una retta verticale passante per il vertice, di equazione:

$a: x=x_V=-{b\over{2a}$

con x_V che è la x del vertice.

Retta direttrice

Infine, l’equazione della retta direttrice è

$d: y=-{{1+\Delta}\over{4a}}$

Equazione di una parabola con asse di simmetria orizzontale

L’equazione di una parabola con asse orizzontale è

$x=ay^2+by+c$

con a,b e c i parametri della circonferenza.

Il parametro a ha una funzione simile alla parabola di prima: se a>0 la parabola sarà concava verso destra (come nell’immagine), se a<0 allora sarà concava verso sinistra.

Come nel caso precedente, possiamo trovare tutte le informazioni di questa parabola: la cosa bella è che le formule sono identiche! Sono solo scambiate tutte le x e le y tra loro!

Vertice

$V(-{\Delta\over{4a}}, -{b\over{2a}})$

Analogamente a prima

$\Delta=b^2-4ac$

Fuoco

$F({{1-\Delta}\over{4a}}, -{b\over{2a}})$

Asse di simmetria

L’asse di simmetria è una retta orizzontale passante per il vertice:

$a: y=y_V=-{b\over{2a}$

con y_V la coordinata y del vertice

Retta direttrice

$d: x=-{{1+\Delta}\over{4a}}$