Divisione tra polinomi
La divisione tra polinomi è uno degli argomenti più importanti di tutti i corsi di matematica delle scuole superiori.
Generalmente introdotto in prima superiore, diventa uno strumento importantissimo per gli anni a seguire, poichè verrà ampiamente utilizzato in tutti i successivi argomenti. In questo articolo ti aiutiamo a padroneggiare la divisione di polinomi, presentando un metodo chiaro ed efficace e fornendoti degli esercizi risolti passo passo.
Cosa troverai in questo articolo:
In cosa consiste la divisione tra polinomi?
In breve, la divisione fra polinomi consiste nell’individuare il quoziente e il resto di un polinomio diviso per un altro.
Tale processo è indispensabile per semplificare l’espressione di polinomi e risolvere equazioni polinomiali.
Come svolgere la divisione tra polinomi
Per eseguire la divisione tra polinomi, occorre dividere il polinomio dividendo per il polinomio divisore. Tale procedimento si basa su un’analogia con la divisione tra numeri interi, ma in questo caso al posto dei numeri vengono divisi i monomi. Andiamo a vederlo con un esempio.
Nota: Probabilmente sei abituato a vedere la divisione per polinomi fatta su uno schema, come nel nostro video. Qui di seguito proviamo a spiegartelo passo a passo in maniera analitica, senza menzionare lo schema.
Calcoliamo il quoziente e il resto della divisione fra il polinomio x^3 – 3x^2 + 4x – 1 (polinomio dividendo) ed il polinomio x – 1 (polinomio divisore).
1. Ordiniamo i termini dei polinomi in ordine decrescente di esponente:
polinomio dividendo: x^3 – 3x^2 + 4x – 1
polinomio divisore: x – 1
2. Eseguiamo il processo di divisione
- Dividiamo il primo termine del polinomio dividendo per il primo termine del polinomio divisore:
x^3 / x = x^2
Il risultato ottenuto rappresenta il primo termine del quoziente. - Moltiplichiamo il polinomio divisore per il termine trovato:
(x – 1) * x^2 = x^3 – x^2 - e sottraiamo il risultato dal polinomio dividendo:
x^3 – 3x^2 + 4x – 1 – (x^3 – x^2) =
= -2x^2 + 4x – 1
Questo risultato rappresenta invece il resto della divisione corrente.
3. Ripetiamo il processo
Ripetiamo il processo appena visto con il nuovo polinomio (-2x^2 + 4x – 1) e il polinomio divisore (x – 1):
- -2x^2 / x = -2x;
Il risultato ottenuto rappresenta il secondo termine del quoziente. - -2x * (x – 1) = -2x^2 + 2x;
- -2x^2 + 4x – 1 – (-2x^2 + 2x) =
= 2x – 1
Questo risultato rappresenta il resto della divisione corrente.
4. Continuiamo a ripetere (iterazione)
Il procedimento va ripetuto nuovamente (iterazione) fino a raggiungere un grado del polinomio residuo inferiore al grado del polinomio divisore.
Ripetiamo quindi il polinomio residuo (2x – 1) e il polinomio divisore (x – 1):
- 2x / x = 2;
Il risultato ottenuto rappresenta il terzo termine del quoziente. - 2 * (x – 1) = 2x – 2;
- 2x – 1 – (2x – 2) =
= +1
Il grado del polinomio residuo è inferiore al grado del polinomio divisore, quindi ci fermiamo e consideriamo questo ultimo risultato (+1) come il resto della nostra divisione.
5. Scriviamo la soluzione della divisone tra polinomi
Per scrivere il risultato, dobbiamo sommare algebricamente (quindi mantenendo i segni) i risultati trovati durante il primo punto del processo di divisione. Ognuno di essi, rappresenta un termine del quoziente. Ad essi dovremo affiancare l’eventuale resto finale.
Dunque, il risultato della divisione è:
x^3 – 3x^2 + 4x – 1 / x – 1 =
= x^2 – 2x + 2 con resto +1
Una scrittura alternativa della soluzione
la soluzione di una divisione tra polinomi può anche essere scritta come il prodotto tra risultato della divisione (senza il resto) per il polinomio dividendo, più il resto: [(risultato della divisione) * (polinomio dividendo)] + resto
Ovvero:
risultato della divisione: x^2 – 2x + 2
polinomio dividendo: x^3 – 3x^2 + 4x – 1
resto: +1
(x^2 – 2x + 2) * (x^3 – 3x^2 + 4x – 1) +1
Che rappresenta la nostra soluzione.
Esercizio svolto passo passo
Calcoliamo il quoziente e il resto della divisione del polinomio 3x^4 – 5x^3 + 2x^2 – x + 6 per il polinomio x^2 – 2x + 1.
Utilizziamo lo schema precedente
ordiniamo i termini
Innanzi tutto, ordiniamo i termini dei polinomi in ordine decrescente di esponente:
polinomio dividendo: 3x^4 – 5x^3 + 2x^2 – x + 6
polinomio divisore: x^2 – 2x + 1
Processo di divisione
Eseguiamo ora il processo di divisione:
- Dividiamo il primo termine del polinomio dividendo per il primo termine del polinomio divisore:
3x^4 / x^2 = 3x^2
Il termine così ottenuto rappresenta il primo termine del quoziente. - Moltiplichiamo il polinomio divisore per il termine trovato
3x^2 * (x^2 – 2x + 1) =
= 3x^4 – 6x^3 + 3x^2 - e sottraiamo il risultato dal polinomio dividendo:
3x^4 – 5x^3 + 2x^2 – x + 6 – (3x^4 – 6x^3 + 3x^2) =
= x^3 – x + 6
Prima iterazione
Ripetiamo il procedimento con il nuovo polinomio residuo (x^3 – x + 6) e il polinomio divisore (x^2 – 2x + 1):
- x^3 / x^2 = x
- x * (x^2 – 2x + 1) = x^3 – 2x^2 + x
- x^3 – x + 6 – (x^3 – 2x^2 + x) =
= 2x^2 – x + 6
Seconda iterazione
Ripetiamo ancora il processo con il nuovo polinomio residuo (2x^2 – x + 6) e il polinomio divisore (x^2 – 2x + 1):
- 2x^2 / x^2 = 2
- 2 * (x^2 – 2x + 1) = 2x^2 – 4x + 2
- 2x^2 – x + 6 – (2x^2 – 4x + 2) =
= 3x – 4
Il grado del polinomio residuo è inferiore al grado del polinomio divisore, quindi ci fermiamo e consideriamo questo ultimo risultato (3x – 4) come il resto della nostra divisione.
Scrittura del risultato
Quindi, il risultato della divisione è:
3x^4 – 5x^3 + 2x^2 – x + 6 / x^2 – 2x + 1 =
= 3x^2 + x + 2 con resto (3x – 4)
che può anche essere scritto come:
[(3x^2 + x + 2 ) * (3x^4 – 5x^3 + 2x^2 – x + 6)] + (3x-4)
Conclusioni
Nel processo di eseguire una divisione tra polinomi, ci sono alcune considerazioni cruciali da tenere a mente:
- Grado dei polinomi: Il grado del polinomio divisore deve essere inferiore o uguale al grado del polinomio dividendo. In caso contrario, la divisione non può essere eseguita direttamente.
- Termini mancanti: Nel polinomio dividendo, è importante includere tutti i termini, anche quelli con coefficiente nullo. Se ci sono gradi mancanti nel polinomio dividendo, si inseriscono termini con coefficiente zero per quei gradi mancanti.
- Divisione dei termini: La divisione inizia con il termine di grado più alto del polinomio dividendo, che viene diviso per il termine di grado più alto del polinomio divisore. Si passa quindi ai successivi termini secondo lo stesso principio, mantenendo l’ordine dei termini.
- Semplificazione: Dopo ogni passaggio della divisione, i termini ottenuti devono essere semplificati riducendo i coefficienti finché possibile.
- Controllo del resto: Il risultato della divisione tra polinomi è il quoziente e il resto. È importante verificare che il resto sia zero per confermare che la divisione sia stata effettuata correttamente. Se il resto è diverso da zero, significa che il polinomio dividendo non è completamente divisibile dal polinomio divisore. Ciò non significa che l’esercizio che avete svolto sia scorretto, ma bisogna indicare il resto.
Video di spiegazioni ed esercizi svolti su tutti gli argomenti
Per eseguire correttamente la divisione tra polinomi, è importante esercitarsi con esempi e seguire attentamente i passaggi della divisione. Sul nostro sito trovi videolezioni di spiegazione e, sopratutto, video di esercizi svolti passo a passo. Vieni a dare un’occhiata!
