Disequazioni: Teoria ed esercizi svolti

Le disequazioni sono un elemento fondamentale nello studio della matematica delle scuole superiori. Questo articolo offre una guida completa per risolvere esercizi di disequazioni di primo grado, disequazioni fratte, irrazionali e con valore assoluto.

Troverai spiegazioni dettagliate e suggerimenti pratici per affrontare e risolvere vari tipi di disequazioni, aiutandoti a comprendere meglio le tecniche necessarie per trovare le soluzioni corrette e rappresentarle graficamente.

Se cerchi invece informazioni sulle equazioni, clicca qui.

In questo articolo andremo a vedere:

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Cosa sono le disequazioni?

Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni letterali e/o numeriche, confrontate tra loro rispetto a una relazione d’ordine ( < , > , ≤ , ≥ ). La forma generale di una disequazione può essere scritta come

P(x) > Q(x)

dove $P(x)$ e $Q(x)$ sono espressioni in funzione di $x$ , l’incognita della disequazione.

Consideriamo ad esempio la disequazione:

x + 2 > 4

In questo caso, la variabile incognita è $x$ e il simbolo “>” indica la relazione d’ordine.

Tipi di disequazioni

Disequazioni di primo grado

Le disequazioni di primo grado sono quelle in cui l’incognita compare con esponente 1. Un esempio è:

x – 1 > 0

Disequazioni Fratte

Le disequazioni fratte coinvolgono frazioni algebriche, dove l’incognita può comparire anche al denominatore. Un esempio è:

\frac{1}{x – 2} > 0

Per risolvere questa disequazione, è necessario studiare le condizioni di esistenza e il segno della frazione.

Disequazioni Irrazionali

Le disequazioni irrazionali contengono l’incognita sotto il segno di radice. Ad esempio:

\sqrt{x + 1} \leq 3

Per risolvere questa disequazione, si eleva al quadrato entrambi i membri, tenendo conto delle condizioni di esistenza della radice.

Disequazioni Valore assoluto

Le disequazioni con valore assoluto coinvolgono espressioni che coinvolgono il valore assoluto, come:

|x – 3| \leq 5

Questa disequazione può essere risolta considerando i due casi:

-5 \leq x – 3 \leq 5

Che cosa sono le condizioni di esistenza?

Le condizioni di esistenza sono i requisiti necessari affinché un’espressione matematica sia definita e abbia senso all’interno di un contesto. In particolare, per le equazioni che coinvolgono radicali e frazioni, queste condizioni garantiscono che le operazioni siano eseguibili e che le soluzioni siano valide.

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Risoluzione degli esercizi sulle disequazioni

La risoluzione delle disequazioni si basa su due principi fondamentali di equivalenza:

Principio di Addizione:

a < b \implies a + c < b + c

Aggiungere o sottrarre lo stesso numero su entrambi i membri di una disequazione non cambia il suo insieme di soluzioni.

Principio di Moltiplicazione:

a < b \implies a \cdot c < b \cdot c \quad \text{se} \quad c > 0

a < b \implies a \cdot c > b \cdot c \quad \text{se} \quad c < 0

Moltiplicare o dividere entrambi i membri di una disequazione per un numero positivo non cambia il suo insieme di soluzioni, mentre farlo per un numero negativo inverte il segno della disuguaglianza.

Procedura di Risoluzione

1. Condizioni di esistenza (C.E.)

Prima di risolvere la disequazione, è essenziale determinare le condizioni di esistenza, cioè i valori dell’incognita per cui l’espressione è definita.

Esempio: $\frac{1}{x-2} > 0$ La frazione è definita solo se $x \neq 2$ .

2. Isolamento dell’Incognita

Analogamente alle equazioni, dobbiamo portare tutti i termini con le x a sinistra e tutti i termini noti a destra, andando a sommarli.

Come per le equazioni, se rimaniamo con un coefficiente per la x, dobbiamo procedere a dividere entrambi i membri per il coefficiente.

x + 5 > 3 \implies x > 3 – 5 \implies x > -2

3. Studio dei segni

Per disequazioni più complesse, specialmente quelle fratte o con valore assoluto, è spesso utile studiare i segni delle espressioni coinvolte.

\frac{x-1}{x+2} > 0

Troviamo le radici del numeratore e del denominatore e studiamo i segni nei vari intervalli determinati da queste radici.

4. Rappresentazione Grafica

Una volta trovati gli intervalli di soluzioni, si può rappresentare graficamente la soluzione su una retta orientata.

I punti critici sono indicati con cerchietti vuoti o pieni a seconda se sono esclusi o inclusi nell’insieme delle soluzioni.

Un esempio

-3x + 1 > 5x

Iniziamo spostando, come per le equazioni, i termini noti a destra e i termini con la x a sinistra, andando a sommarli o sottrarli algebricamente, ottenendo:

-8x > -1

Ora dobbiamo dividere entrambi i membri per -8.
Attenzione che quando si divide o si moltiplica per un numero negativo, il segno della disequazione deve essere invertito.
Dividiamo entrambi i lati per -8 e cambiamo il segno, ottenendo:

x < \frac{1}{8}

Adesso fermati un attimo.

Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
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Esercizi sulle disequazioni

Esempio 1: esercizio disequazione fratta

Risolviamo la seguente disequazione fratta:

$\frac{x – 3}{x + 1} \leq 0$

1. Poniamo le C.E.

Prima di procedere alla risoluzione, dobbiamo determinare le condizioni di esistenza della disequazione. La frazione $\frac{x – 3}{x + 1}$ è definita per tutti i valori di $x$ tranne $x = -1$ , poiché il denominatore non può essere zero.

Condizioni di esistenza: $x \neq -1$ .

2. Risolviamo ora la disequazione, trovando le radici al numeratore e al numeratore, in modo da studiare gli intervalli

Individuiamo le radici del numeratore e del denominatore:

Numeratore $x – 3 = 0 \implies x = 3$
Denominatore $x + 1 = 0 \implies x = -1$ (già trovato nelle condizioni di esistenza)

Queste radici dividono la retta reale in tre intervalli: $(-\infty, -1)$ , $(-1, 3)$ , $(3, +\infty)$ .

3. Studio del segno

Studiamo ora il segno del numeratore e del denominatore, unendo gli intervalli.

Osserviamo che il numeratore è maggiore per X maggiore o uguale a 3 e negativo per x minore di 3. Siccome la disequazione che stiamo analizzando ha un segno di minore o uguale, includiamo il 3 come possibile soluzione (e lo indichiamo con un pallino pieno).

Invece il denominatore è positivo per tutte le x > -1 e negativo per le x minori. Attenzione che al denominatore x deve essere diverso da -1, dunque indichiamo con una X rossa (o un pallino vuoto) il punto che viene escluso.

Moltiplichiamo ora i segni in colonna, a sinistra del -1 abbiamo segno positivo (meno per meno fa +) , tra -1 e 3 segno negativo e invece segno positivo per gli x maggiori di 3.

Incrociando gli intervalli troviamo che il risultato in cui la disequazione in toto è minore o uguale a zero è:

x \in (-1, 3]

anche scritta come:

-1 < x \leq 3

Esempio 2: esercizio disequazione irrazionale (con le radici)

\sqrt{x – 2} \geq 3

Per risolvere questa disequazione, dobbiamo eliminare la radice quadrata e poi risolvere l’equazione risultante. Ecco i passaggi dettagliati:

1. Verifica le condizioni di esistenza: La condizione di esistenza della radice quadrata $\sqrt{x – 2}$ è che $x – 2 \geq 0$ , ossia:

x \geq 2

2. Isolare la radice quadrata: In questo caso la radice è già isolata, altrimenti avremmo dovuto procedere con lo spostamento dei termini (con eventuale cambio di segno).

3. Elevare entrambi i membri al quadrato per eliminare la radice quadrata (notando che elevando al quadrato entrambi i membri di una disequazione con il segno $\geq$ non cambia il segno della disequazione):

(\sqrt{x – 2})^2 \geq 3^2

x – 2 \geq 9

4. Risolviamo per x:

x – 2 \geq 9

x \geq 11

Dato che le condizioni di esistenza sono rispettate, accettiamo questo intervallo come soluzione, che possiamo rappresentare anche in questo modo:

[11, +\infty)

Conclusioni

Le disequazioni goniometriche rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. La pratica con vari esercizi ti aiuterà a padroneggiare queste tecniche e ad applicarle con sicurezza in contesti reali e teorici.

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