Disequazioni logaritmiche

Le disequazioni logaritmiche sono un argomento centrale in matematica sia per le scuole superiori sia per l’università. Saperle risolvere è essenziale per affrontare vari problemi matematici e trova applicazioni in ambiti come acustica, la fisica e l’economia.

In questo articolo andremo a vedere:

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Cos'è una disequazione logaritmica

Una disequazione logaritmica è una disequazione che coinvolge logaritmi di espressioni algebriche e l’incognita compare come argomento o base di uno o più logaritmi. La forma generale di una disequazione logaritmica è:

\log_b(f(x)) \, \text{relazione} \, g(x)

dove $b$ è la base del logaritmo, $f (x)$ è l’argomento del logaritmo, $g (x)$ è una funzione, e la “relazione” può essere >, <, ≥, ≤

L’obiettivo è trovare i valori di $x$ che soddisfano la disequazione. Per risolvere le disequazioni logaritmiche, è necessario conoscere le proprietà dei logaritmi e saperle applicare correttamente.

Come risolvere le disequazioni logaritmiche

Per risolvere le equazioni logaritmiche, esistono diverse tecniche, ti consigliamo tuttavia di seguire questi passaggi:

Calcola le CE: Come sempre devi trovare le condizioni di esistenza. L’argomento del logaritmo deve essere posto > 0. Se le x compaiono alla base, va posta una condizione di esistenza per imporre la base >0 e ≠ 1. Queste condizioni vanno messe a sistema con eventuali altre condizioni (ad esempio radici o denominatori in cui compare la x).
Isola il logaritmo: Se non è in forma elementare, cerca di isolare il logaritmo con l’incognita, su un lato della disequazione, utilizzando le proprietà dei logaritmi. Cerca di ridurti alla stessa base.
In alcuni casi viene usato anche il metodo di sostituzione che consente di semplificare l’espressione laddove il logaritmo ha la stessa base e stesso argomento. Trovi un esempio in fondo all’articolo!
Risolvi: Se sei in forma elementare, trasforma il termine a destra in un logaritmo con la stessa base del logaritmo di sinistra, rimuovi le basi e trovi il risultato. Altrimenti applica l’esponenziale per elevare entrambi i lati in modo da eliminare il logaritmo.
Se invece stai usando il metodo di sostituzione, devi risolvere la disequazione associata e alla fine riapplicare la sostituzione. Trovi un esempio sotto nell’articolo.
Verifica le soluzioni: Assicurati che le soluzioni trovate siano valide nel contesto originale e con le CE trovate.

Risoluzione di disequazioni logaritmiche con base comune

Se la disequazione ha logaritmi con la stessa base, puoi usare le proprietà dei logaritmi per semplificare la disequazione.

Supponiamo di avere ad esempio:

\log_b(f(x)) \geq \log_b(g(x))

Questo per le proprietà dei logaritmi implica che possiamo rimuovere i logaritmi stessi.

Si applicano però queste condizioni:

Se la base a del logaritmo è > 1, quindi se a > 1

f(x) \geq g(x)

Se invece la base del logaritmo a è compresa tra 0 e 1, quindi se 0 < a < 1, dobbiamo invertire il segno dell’equazione:

f(x) \geq g(x)

Quindi ad esempio, nel caso seguente, essendo la base a > 1, manteniamo il segno e andiamo ad ottenere questa disequazione associata:

\log_3(x + 2) > \log_3(5) \implies x + 2 > 5

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Risoluzione di disequazioni logaritmiche con basi diverse

Se la disequazione ha logaritmi con basi diverse, è sempre buona norma cercare di portarsi al caso di basi comuni. Puoi usare il cambio di base per rendere le basi uguali. La formula del cambio di base è:

$\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$

Fai molta attenzione ai segni quando applichi il cambio base, in modo da sostituire i maniera corretta all’interno della disequazione e applicare le eventuali inversioni di segno.

Adesso fermati un attimo.

Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
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Disequazioni logaritmiche esercizi

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per consolidare la comprensione delle disequazioni logaritmiche. Questi esercizi ti aiuteranno a fissare una tecnica risolutiva step-by-step e a vedere con degli esempi quello che abbiamo visto finora a livello teorico.

Esercizio 1

Risolvi la seguente equazione logaritmica:

\log_2(2x-1) > 0

Passaggio 1: Applica le condizioni di esistenza. In questo caso va posto l’argomento del logaritmo maggiore di zero, dunque 2x-1 > 0.

2x – 1 > 0

2x > 1

x > \frac{1}{2}

Passaggio 2: il logaritmo è già isolato, in questo caso ci conviene dunque applicare direttamente l’esponenziale per elevare entrambi i lati in modo da eliminare il logaritmo.

Convertiamo la disequazione logaritmica in una disequazione esponenziale. Ricordiamo che:

\log_2(y) > 0

significa che

y > 2^0

poiché

2^0 = 1

Otteniamo dunque applicando questa regola al nostro caso, la seguente disequazione da cui abbiamo tolto il logaritmo:

2x – 1 > 1

Passaggio 3: risolviamo ora la disequazione come al solito:

2x – 1 > 1

2x > 2

x > 1

Passaggio 4: confrontiamo ora questo risultato con le nostre CE:

x > \frac{1}{2}

Dato che x > 1 è sicuramente incluso come intervallo nelle CE possiamo considerare ok la nostra soluzione, che può essere anche riscritta nella forma:

Quindi, la soluzione è: $x \in (1, +\infty)$

Esercizio 2

Vediamo ora un altro esempio in cui applichiamo però il metodo di sostituzione:

-\log_2^2(x+5) – 3\log_2(x+5) – 1 < 0

Passaggio 1: Non dimentichiamoci le Condizioni di Esistenza. Poniamo x + 5 >0 e otteniamo così x > -5

Passaggio 2: Applichiamo ora la sostituzione, dato che siamo a parità di base, sostituiamo:

y = \log_2(x+5)

Troviamo dunque la disequazione associata:

-y^2 – 3y – 1 < 0

Passaggio 3: Risolviamo la disequazione associata trovata

y^2 + 3y + 1 > 0

Troviamo le radici dell’equazione quadratica associata $y^2 + 3y + 1 = 0$ utilizzando la formula quadratica: $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$ dove $a = 1$ , $b = 3$ , e $c = 1$ .

Calcoliamo il discriminante: $\Delta = b^2 – 4ac = 3^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 – 4 = 5$

Troviamo le radici: $y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Per la disequazione $y^2 + 3y + 1 > 0$ , i valori di $y$ per cui la disequazione è soddisfatta sono quelli al di fuori dell’intervallo tra le radici: $y < \frac{-3 – \sqrt{5}}{2} \quad \text{oppure} \quad y > \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 4: Riapplichiamo la sostituzione

Ora dobbiamo tornare alla variabile $x$ . Ricordiamo che $y = \log_2(x+5)$ , quindi dobbiamo risolvere:

\log_2(x+5) < \frac{-3 – \sqrt{5}}{2}

\log_2(x+5) > \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}

Partiamo con la 1)

Convertiamo la disequazione logaritmica in esponenziale: $x + 5 < 2^{\frac{-3 – \sqrt{5}}{2}}$

Risolviamo per $x$ : $x < 2^{\frac{-3 – \sqrt{5}}{2}} – 5$

Partiamo con la 2)

Convertiamo la disequazione logaritmica in esponenziale: $x + 5 > 2^{\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}}$

Risolviamo per $x$ : $x > 2^{\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}} – 5$

Passaggio 5: Verifichiamo il risultato con le condizioni di esistenza

Dobbiamo mettere a sistema ciascuna soluzione trovata con le CE , ossia X > -5

In Rosso le CE
In Blu la prima soluzione
In Verde la seconda soluzione

Troviamo dunque come soluzioni i punti in cui la linea blu e la linea verde si sovrappongono con la linea rossa. Ossia l’intervallo:

x \in \left(-5, 2^{\frac{-3 – \sqrt{5}}{2}} – 5\right) \cup \left(2^{\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}} – 5, +\infty\right)

Conclusioni disequazioni con logaritmi

Le disequazioni logaritmiche sono un’importante area di studio nella matematica avanzata. Con una comprensione delle tecniche risolutive e delle proprietà dei logaritmi, è possibile risolvere queste equazioni in modo efficace. Praticando con vari esercizi, diventerà più facile padroneggiare questo argomento.

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