Le disequazioni goniometriche sono un argomento fondamentale nel curriculum di matematica per studenti delle scuole superiori.
In questo articolo andremo a vedere esercizi svolti sulle disequazioni goniometriche. Comprendere come risolverle è cruciale per affrontare numerosi problemi matematici e applicazioni in fisica e ingegneria.
In questo articolo andremo a vedere:
Cosa sono le disequazioni goniometriche?
Una disequazione goniometrica è una disequazione che coinvolge funzioni trigonometriche come seno, coseno, tangente e cotangente.
Esempi comuni includono:
dove a è un numero reale qualsiasi.
Come Risolvere le Disequazioni Goniometriche
Non c’è purtroppo un metodo univico per risolvere gli esercizi sulle disequazioni goniometriche. Ti proponiamo però una serie di passaggi utili a risolvere le forme di disequazioni goniometriche elementari.
Se la disequazione goniometrica che devi risolvere non è già nella forma elementare, puoi applicare una serie di proprietà goniometriche, archi associati o sostituzioni per ricondurti a queste forme.
1. Identificare l’Equazione Associata:
Prima di tutto, identifichiamo l’equazione associata alla disequazione. Ad esempio, per risolvere cos(x)≤22, consideriamo l’equazione cos(x)=22.
2. Determinare le Soluzioni sull’Intervallo Fondamentale:
Identifichiamo per l’equazione associata, le soluzioni, dunque ad esempio per il caso precedente avremo:
Le soluzioni dell’equazione cos(x)=22 sono x=4π+2kπ e x=−4π+2kπ con k∈Z.
3. Applicare le soluzioni trovate alla disequazione:
L’equazione associata ci da delle soluzioni che possiamo identificare sulla circonferenza goniometrica. Queste soluzioni rappresentano dei punti, siccome stiamo risolvendo una disequazione , dobbiamo trovare gli intervalli associati, in base al segno, come vedi nell’immagine:
![disequazione goniometrica](https://edurocket.it/wp-content/uploads/2024/07/dis_gon-768x772.webp)
Per la disequazione cos(x)≤22, identifichiamo gli intervalli sulla circonferenza goniometrica dove questa condizione è soddisfatta. La soluzione sarà: 4π+2kπ≤x≤47π+2kπ,k∈Z
Questo perché, come vedi dall’immagine stiamo cercando tutti i valori in cui il coseno dell’angolo x è minore, ragioniamo dunque rispetto alle ascisse e la sezione è quella evidenziata in rosso.
4. Generalizziamo la soluzione trovata:
Estendiamo le soluzioni per xxx su tutto l’intervallo reale, ricordando di considerare tutte le rotazioni complete sulla circonferenza goniometrica.
Adesso fermati un attimo.
Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
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Esercizi disequazioni goniometriche
Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per le varie tipologie.
Esercizio 1: disequazione goniometrica elementare
Risolviamo la disequazione
1. Determiniamo innanzitutto le soluzioni della equazione associata:
Sappiamo che: sin(3π)=23 e anche: sin(32π)=23
Quindi le soluzioni dell’equazione sin(x)=23 sono: x=3π+2kπex=32π+2kπper ogni k∈Z
2. Determiniamo gli intervalli della disequazione:
Per la disequazione sin(x)>23, dobbiamo trovare gli intervalli in cui il seno è maggiore di 23.
Dalla circonferenza goniometrica, sappiamo che il seno è maggiore di 23 negli intervalli: 3π<x<32πconsiderando l’intervallo di 2π
![disequazione goniometrica 2](https://edurocket.it/wp-content/uploads/2024/07/dis_gon_2-768x765.webp)
3. Considerando la periodicità ed esprimendo la disequazione in termini più generali otteniamo:
La soluzione della disequazione sin(x)>23 può essere espressa come: x∈(3π+2kπ,32π+2kπ)per ogni k∈Z
Esercizio 2: disequazione goniometrica lineare
1. Utilizziamo in questo caso le formule parametriche andando a svolgere la sostituzione
Ricordiamoci che:
Andiamo dunque a sostituire nella disequazione originale:
2. Andiamo ora a risolvere la disequazione associata
Moltiplichiamo tutto per 1+t2 per eliminare il denominatore:
Questa semplificazione diventa:
Riorganizziamo i termini:
Sottraiamo t2 da entrambi i lati:
3. Riapplichiamo ora la sostituzione per trovare gli angoli e risolvere in x
Poiché t=tan(2x), abbiamo:
Per trovare gli intervalli di x che soddisfano questa disequazione, consideriamo gli intervalli della funzione tan. Poiché la tangente è periodica con periodo π, dobbiamo trovare l’intervallo principale e poi estendere alle soluzioni generali.
L’intervallo principale in 2 π è:
Moltiplichiamo per 2 e otteniamo:
Ora consideriamo la condizione tan(2x)<21:
Pertanto, le soluzioni sono:
4. Troviamo ora le soluzioni generali
e
Quindi, la soluzione della disequazione 2sin(x)−cos(x)<1 in forma generale è data dagli intervalli:
Esercizio 3: disequazione goniometrica con metodo sostituzione
1. Applichiamo innanzitutto la sostituzione
Sostituzione: Poni y=sin(x). La disequazione diventa: 4y2−23y−6<0
2. Risolviamo la disequazione associata
Utilizziamo la formula risolutiva delle equazioni quadratiche ay2+by+c=0: y=2a−b±b2−4ac
Quindi, le soluzioni dell’equazione quadratica sono: y1=3 y2=−23
3. Torniamo ai termini di sen(x)
Poiché y=sin(x) deve essere compreso tra −1 e 1, verifichiamo che le soluzioni rientrino in questo intervallo.
Notiamo che: y1=3≈1.73
La soluzione y1 non è compresa nell’intervallo [−1,1], quindi non ci interessa. Invece, la soluzione y2 è all’interno dell’intervallo.
La soluzione viene dunque scartata e viene considerato il limite, ossia 1.
Consideriamo i valori interni della disequazione, quindi:
4. Risolviamo ora due disequazioni goniometriche
Troviamo gli angoli corrispondenti agli estremi: sin(x)=−23
Gli angoli corrispondenti sono: x=arcsin(−23) e x=π−arcsin(−23)
Sapendo che arcsin(−23)=−3π, otteniamo: x=−3π e x=π−(−3π)=π+3π=34π
Perciò, la soluzione della disequazione 4sin2(x)−23sin(x)−6<0 sarà: −3π<x<34π
Poiché la funzione seno è periodica con periodo 2π, consideriamo i valori di x all’interno del periodo [0,2π):
5. Esprimiamo in forma generale, considerando la periodicità:
La soluzione della disequazione 4sin2(x)−23sin(x)−6<0 all’interno di un periodo sarà: x∈(−3π,34π)
Quindi, i valori di x che soddisfano la disequazione sono tutti gli x nell’intervallo aperto −3π a 34π.
Conclusioni
Le disequazioni goniometriche rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. La pratica con vari esercizi ti aiuterà a padroneggiare queste tecniche e ad applicarle con sicurezza in contesti reali e teorici.
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