Disequazioni Goniometriche Esercizi

Le disequazioni goniometriche sono un argomento fondamentale nel curriculum di matematica per studenti delle scuole superiori.

In questo articolo andremo a vedere esercizi svolti sulle disequazioni goniometriche. Comprendere come risolverle è cruciale per affrontare numerosi problemi matematici e applicazioni in fisica e ingegneria.

Trovi qui un articolo sulle equazioni goniometriche.

In questo articolo andremo a vedere:

Riproduci video su Disequazioni goniometriche

Cosa sono le disequazioni goniometriche?

Una disequazione goniometrica è una disequazione che coinvolge funzioni trigonometriche come seno, coseno, tangente e cotangente.

Esempi comuni includono:

\sin(x) < a, \quad \cos(x) \leq a, \quad \tan(x) > a, \quad \cot(x) \geq a

$dove a$ è un numero reale qualsiasi.

Come Risolvere le Disequazioni Goniometriche

Non c’è purtroppo un metodo univico per risolvere gli esercizi sulle disequazioni goniometriche. Ti proponiamo però una serie di passaggi utili a risolvere le forme di disequazioni goniometriche elementari.

Se la disequazione goniometrica che devi risolvere non è già nella forma elementare, puoi applicare una serie di proprietà goniometriche, archi associati o sostituzioni per ricondurti a queste forme.

1. Identificare l’Equazione Associata:

Prima di tutto, identifichiamo l’equazione associata alla disequazione. Ad esempio, per risolvere $\cos(x) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ , consideriamo l’equazione $\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

2. Determinare le Soluzioni sull’Intervallo Fondamentale:

Identifichiamo per l’equazione associata, le soluzioni, dunque ad esempio per il caso precedente avremo:

Le soluzioni dell’equazione $\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ sono $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ e $x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$ .

3. Applicare le soluzioni trovate alla disequazione:

L’equazione associata ci da delle soluzioni che possiamo identificare sulla circonferenza goniometrica. Queste soluzioni rappresentano dei punti, siccome stiamo risolvendo una disequazione , dobbiamo trovare gli intervalli associati, in base al segno, come vedi nell’immagine:

Per la disequazione $\cos(x) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ , identifichiamo gli intervalli sulla circonferenza goniometrica dove questa condizione è soddisfatta. La soluzione sarà: $\frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Questo perché, come vedi dall’immagine stiamo cercando tutti i valori in cui il coseno dell’angolo x è minore, ragioniamo dunque rispetto alle ascisse e la sezione è quella evidenziata in rosso.

4. Generalizziamo la soluzione trovata:

Estendiamo le soluzioni per $x$ su tutto l’intervallo reale, ricordando di considerare tutte le rotazioni complete sulla circonferenza goniometrica.

Riproduci video su Disequazioni goniometriche

Adesso fermati un attimo.

Con la matematica funziona così: per padroneggiare un argomento bisogna svolgere numerosi esercizi.
Sul nostro sito trovi video-lezioni di teoria ed esercizi svolti passo a passo su tutti gli argomenti di matematica della scuola superiore, comprese le equazioni. Vieni a dare un’occhiata!

Esercizi disequazioni goniometriche

Ecco alcuni esempi di esercizi svolti per le varie tipologie.

Esercizio 1: disequazione goniometrica elementare

Risolviamo la disequazione

\sin(x) > \frac{\sqrt{3}}{2}

1. Determiniamo innanzitutto le soluzioni della equazione associata:

\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Sappiamo che: $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e anche: $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Quindi le soluzioni dell’equazione $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ sono: $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{e} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{per ogni } k \in \mathbb{Z}$

2. Determiniamo gli intervalli della disequazione:

Per la disequazione $\sin(x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$ , dobbiamo trovare gli intervalli in cui il seno è maggiore di $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Dalla circonferenza goniometrica, sappiamo che il seno è maggiore di $\frac{\sqrt{3}}{2}$ negli intervalli: $\frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3} \quad \text{mod } 2\pi$

3. Considerando la periodicità ed esprimendo la disequazione in termini più generali otteniamo:

La soluzione della disequazione $\sin(x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$ può essere espressa come: $x \in \left( \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \right) \quad \text{per ogni } k \in \mathbb{Z}$

Esercizio 2: disequazione goniometrica lineare

2\sin(x) – \cos(x) < 1

1. Utilizziamo in questo caso le formule parametriche andando a svolgere la sostituzione

\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2} \quad \text{e} \quad \cos(x) = \frac{1 – t^2}{1 + t^2}

Ricordiamoci che:

t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)

Andiamo dunque a sostituire nella disequazione originale:

2 \left( \frac{2t}{1 + t^2} \right) – \left( \frac{1 – t^2}{1 + t^2} \right) < 1

2. Andiamo ora a risolvere la disequazione associata

Moltiplichiamo tutto per $1 + t^2$ per eliminare il denominatore:

2 \cdot \frac{2t}{1 + t^2} \cdot (1 + t^2) – \frac{1 – t^2}{1 + t^2} \cdot (1 + t^2) < 1 \cdot (1 + t^2)

Questa semplificazione diventa:

4t – (1 – t^2) < 1 + t^2

Riorganizziamo i termini:

4t – 1 + t^2 < 1 + t^2

Sottraiamo $t^2$ da entrambi i lati:

4t – 1 < 1

4t < 2

t < \frac{1}{2}

3. Riapplichiamo ora la sostituzione per trovare gli angoli e risolvere in x

Poiché $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$ , abbiamo:

\tan\left(\frac{x}{2}\right) < \frac{1}{2}

Per trovare gli intervalli di $x$ che soddisfano questa disequazione, consideriamo gli intervalli della funzione $\tan$ . Poiché la tangente è periodica con periodo $\pi$ , dobbiamo trovare l’intervallo principale e poi estendere alle soluzioni generali.

L’intervallo principale in 2 è:

-\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}

Moltiplichiamo per 2 e otteniamo:

-\pi < x < \pi

Ora consideriamo la condizione $\tan\left(\frac{x}{2}\right) < \frac{1}{2}$ :

\frac{x}{2} < \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)

Pertanto, le soluzioni sono:

-\pi < x < 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)

4. Troviamo ora le soluzioni generali

Poiché la tangente è periodica con periodo 𝜋 π, le soluzioni generali sono

x = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + 2k\pi \quad \text{per} \quad k \in \mathbb{Z}

x = -\pi + 2k\pi \quad \text{per} \quad k \in \mathbb{Z}

Quindi, la soluzione della disequazione $2\sin(x) – \cos(x) < 1$ in forma generale è data dagli intervalli:

2k\pi – \pi < x < 2k\pi + 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \quad \text{per} \quad k \in \mathbb{Z}

Esercizio 3: disequazione goniometrica con metodo sostituzione

4\sin^2(x) – 2\sqrt{3}\sin(x) – 6 < 0

1. Applichiamo innanzitutto la sostituzione

Sostituzione: Poni $y = \sin(x)$ . La disequazione diventa: $4y^2 – 2\sqrt{3}y – 6 < 0$

2. Risolviamo la disequazione associata

Utilizziamo la formula risolutiva delle equazioni quadratiche $ay^2 + by + c = 0$ : $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

y = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 – 4 \cdot 4 \cdot (-6)}}{2 \cdot 4}

y = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 96}}{8}

y = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{108}}{8}

y = \frac{2\sqrt{3} \pm 6\sqrt{3}}{8}

y = \frac{2\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{8} = \frac{8\sqrt{3}}{8} = \sqrt{3}

y = \frac{2\sqrt{3} – 6\sqrt{3}}{8} = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Quindi, le soluzioni dell’equazione quadratica sono: $y_1 = \sqrt{3}$ $y_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. Torniamo ai termini di sen(x)

Poiché $y = \sin(x)$ deve essere compreso tra $-1$ e $1$ , verifichiamo che le soluzioni rientrino in questo intervallo.

Notiamo che: $y_1 = \sqrt{3} \approx 1.73$

La soluzione $y_1$ non è compresa nell’intervallo $[-1, 1]$ , quindi non ci interessa. Invece, la soluzione $y_2$ è all’interno dell’intervallo.

La soluzione viene dunque scartata e viene considerato il limite, ossia 1.

Consideriamo i valori interni della disequazione, quindi:

-\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin(x) < 1

4. Risolviamo ora due disequazioni goniometriche

Troviamo gli angoli corrispondenti agli estremi: $\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Gli angoli corrispondenti sono: $x = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ e $x = \pi – \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Sapendo che $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$ , otteniamo: $x = -\frac{\pi}{3}$ e $x = \pi – \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$

Perciò, la soluzione della disequazione $4\sin^2(x) – 2\sqrt{3}\sin(x) – 6 < 0$ sarà: $-\frac{\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3}$

Poiché la funzione seno è periodica con periodo $2\pi$ , consideriamo i valori di $x$ all’interno del periodo $[0, 2\pi)$ :

5. Esprimiamo in forma generale, considerando la periodicità:

La soluzione della disequazione $4\sin^2(x) – 2\sqrt{3}\sin(x) – 6 < 0$ all’interno di un periodo sarà: $x \in \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right)$

Quindi, i valori di $x$ che soddisfano la disequazione sono tutti gli $x$ nell’intervallo aperto $-\frac{\pi}{3}$ a $\frac{4\pi}{3}$ .

Conclusioni

Le disequazioni goniometriche rappresentano un’importante area di studio nella matematica scolastica superiore. La pratica con vari esercizi ti aiuterà a padroneggiare queste tecniche e ad applicarle con sicurezza in contesti reali e teorici.

Video di spiegazioni ed esercizi svolti su tutti gli argomenti

Spesso studiare matematica è stressante e richiede un sacco di tempo.
Non ti racconteremo che con noi puoi “studiare divertendoti”, ma sicuramente puoi farlo nella metà del tempo.

Sul nostro sito trovi video da 5-10 minuti per ogni argomento, compresi quelli sulle equazioni!
Basta un video al giorno per migliorare tantissimo: prova a dare un’occhiata!